Mediant
Der Mediant, die Mediante bzw. die Farey-Summe zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]
Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
- Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
- Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)
In reiner Stimmung
Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche 1/1 (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 Cent möchten.
- Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = 1/1 und dem "rechten" Wert R = 1/0. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
- Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1. Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
- Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
- 4/3 > 450 Cent, neues R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
- 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
- 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
- ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)
Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.
Bedeutung bei MOS-Skalen
Im Zusammenhang mit MOS-Skalen wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche EDO-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.
Hier bieten diatonische Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von 12-EDO (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der 5-EDO-Quinte 3\5 (720 Cent) und der 7-EDO-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. (5-EDO und 7-EDO sind die EDOs, die für das MOS-Muster 5L2s den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
- M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von 17-EDO, mit L/s-Wert 3/1
- Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom Superpyth-EDO 22-EDO, mit L/s-Wert 4/1
- Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “Neogotisch”-EDO 29-EDO mit L/s-Wert 5/2
- M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom mitteltönigen EDO 19-EDO mit L/s-Wert 3/2
Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.