Intervallraum
Als Intervallraum bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben.
Intervalle in reiner Stimmung zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als rationale Zahl ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als Produkt von Primzahlen betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können).
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-Limit". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,Z-Modul), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als Eulermodul bezeichnet.
Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das Eulersche Tonnetz ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale Vogelsche Tonnetz ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.
Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem Tonsystem kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der Bohlen-Pierce-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber nicht als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von orientalischen Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden 11/10 und 12/11 benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist.