Primzahlen

Aus Xenharmonie-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.

Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in reinen Stimmungen und, auf ziemlich andere Weise, bei gleichstufigen Tonsystemen.

Primzahlen und reine Stimmungen

[Todo Ausführungen zu rationalen Intervallen/Intervallraum ]

In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassische Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.

Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme

In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:

  • Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in 12edo, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.
  • Es gibt keine Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.
  • Ein Prim-EDO kann keine reguläre Temperatur unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. Pajara.

Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa 19edo ein Kandidat.

Wenn die Prim- oder Nichtprimheit eines gegebenen gleichstufigen Systems die einzige unerwünschte Eigenschaft ist, besteht manchmal die Möglichkeit, auf ein nah verwandtes System mit einem anderen Periodenintervall zu wechseln. Beispielsweise hat die Stopper-Stimmung, bei der die reine Duodezime (3:1) in 19 gleiche Teile geteilt wird, beinahe dieselben Intervalle wie unsere verbreitete zwölfstufige Stimmung, jedoch in einem Primsystem, während etwa 27edt, bei der eine Duodezime in 27 gleiche Teile geteilt wird, ein Nicht-Prim-System mit beinahe identischen Tönen wie 17edo ist. Überhaupt gibt es ja für jedes Prim-EDO ein Nicht-Prim-System mit identischen Intervallgrössen und einer Doppeloktave (4:1) als Periode.

All diese Dinge sind übrigens nur bei "tiefen" Zahlen von Bedeutung. Je höher die Anzahl Töne und je feiner die Auflösung, desto weniger wird der Unterschied zwischen einer komplett gleichförmigen und einer nur beinahe gleichförmigen Skala ins Gewicht fallen und irgendwann völlig unhörbar werden.

Verweise