Cent
Das Cent ist eine Maßeinheit für die Distanz musikalischer Intervalle. Die Einheit ist als 100-stel des Halbtonschritts in 12-EDO festgelegt. So entsprechen 1200 Cent einer Oktave. Ein Cent ist ein so kleines Intervall, dass zwei Tonhöhen mit genau dieser Distanz von den meisten Menschen als vollkommen gleich wahrgenommen werden (zum Test ein Beispiel mit zwei Tönen. Welcher ist höher?)...
...deshalb werden bei Centangaben in der klassischen Musik meist Angaben ohne Nachkommastellen verwendet.
Exakte Definition und praktische Berechnung
Ist ein Intervall q als Frequenzverhältnis bzw. Frequenzfaktor gegeben, so entspricht dies 1200 * log2(q) Cent.
Da man mit vielen Taschenrechnern den Logarithmus zur Basis 2 nicht direkt berechnen kann, bietet sich in der Praxis oft eher die Formel 1200 * log(q)/log(2) Cent an, wobei log der Logarithmus zu einer beliebigen (aber festen) Basis ist. Berechnet man mehrere Cent-Werte in Folge, so bietet es sich an, den Wert 1200/log(2) zwischenzuspeichern, so dass nur noch log(q) berechnet werden muss, und anschließend mit dem zwischengespeicherten Wert multipliziert wird.
Beispiel:
Die Cent-Darstellung zu 9/8 lässt sich als 1200 * log(9/8)/log(2) ≈ 203.9 Cent berechnen.
Alternativ kann man auch erst x = 1200/log(2) zwischenspeichern (~ 3986 bei Zehnerlogarithmus), und anschließend muss nur noch log(9/8) * x berechnet werden, um die Darstellung in Cent zu erhalten.
Alternative Definition: 1 Cent = 1\1200 (i.e. 1/1200 Oktave)
Vor- und Nachteile gegenüber Darstellung als Frequenzverhältnisse
Cent-Werte haben gegenüber der Darstellung von Intervallen als Frequenzverhältnisse ein paar Vorteile:
- Die Größe eines Intervalls ist direkt ersichtlich
- Statt Intervalle in Frequenzdarstellung zu multiplizieren, kann man einfach deren Cent-Werte addieren
- Cent-Werte lassen sich sehr einfach zu Intervallen berechnen, die auf gleichstufiger Oktavteilung basieren
Beispiele und Erläuterungen dazu:
- In der Frequenzverhältnisdarstellung ist nur schwer erkennbar, wie groß 7/4, 9/5 und 16/9 im Verhältnis zueinander sind. Dies wird allerdings direkt ersichtlich, wenn man weiß dass 7/4 ≈ 968.8 Cent, 9/5 ≈ 1017.6 Cent, und 16/9 ≈ 996.1 Cent entspricht
- Dass eine große Terz 5/4 und eine kleine Terz 6/5 zusammen eine reine Quinte 3/2 ergeben, lässt sich in der Frequenzverhältnisdarstellung als Multiplikation ausdrücken: 5/4 * 6/5 = 3/2. In der Cent-Darstellung dagegen kann man dies durch eine einfache Addition ausdrücken: 386.3 Cent + 315.6 Cent ≈ 702.0 Cent. (würde man hier nicht runden, so hätte man tatsächlich eine Gleichung; so ergibt sich ein kleiner Rundungsfehler)
- Hat man ein Intervall, das x Schritten in einer N-stufigen Stimmung entspricht, so lässt sich die Cent-Darstellung als 1200 * x/N berechnen. Z.B. entsprechen 7 Schritte in der zwölfstufigen Stimmung 1200 * 7/12 = 700 Cent, und 5 Schritte in der 19-stufigen Stimmung 1200 * 5/19 = 315.8 Cent. Alternativ kann man sich auch merken, dass x/N die Darstellung des Intervals in Oktaven ist, und eine Oktave 1200 Cent entspricht
Ein Nachteil gegenüber der Darstellung als Frequenzverhältnis ist, dass eine harmonische Interpretation erschwert wird.
Außerdem hat die Cent-Darstellung ganzzahliger Frequenzverhältnisse (mit Ausnahme von Oktaven und deren Vielfachen) in jedem Fall unendlich viele Nachkommastellen, da es sich um irrationale Werte handelt, was für die Praxis bedeutet, dass gerundet werden muss.
Umgekehrt erscheinen Intervalle von gleichstufigen Temperamenten, in der Frequenzverhältnisdarstellung durchwegs irrational, in der Centdarstellung immer als rationale Zahlen. Mathematische Verfahren zur Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale, etwa mittels Kettenbrüchen, erhalten so eine Anwendung bei der Annäherung reiner Intervalle in gleichstufigen Temperamenten.