Kettenbruch

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Kettenbruch (Wikipedia)

Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in gleichstufigen Temperamenten zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...

Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]

Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung 12edo eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstufigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (13edo, 14edo,15edo und 16edo) hingegen keine bessere. Die mit 17edo assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. 29edo, auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten 41edo und 53edo. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.