Mediant: Unterschied zwischen den Versionen

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== In reiner Stimmung ==

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

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Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-~~Schrittverhältniswert~~ dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]] dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]. L/s = 3/1

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1

## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent)~~, die Quinte des~~ Superpyth-~~EDOs~~ 22-EDO. L/s = 4/1

## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1

### ~~Ein Diatonisch~~-EDO mit L/s-Wert 5/1

### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1

### ~~Ein Diatonisch~~-EDO mit L/s-Wert 7/2

### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2

## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), ~~die Quinte des “Neogotisch”~~-~~EDOs~~ 29-EDO. L/s = 5/2

## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2

# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), ~~von~~ [[19-EDO]]

# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2

## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO, mit L/s-Wert 5/3

## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3

## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3

## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten ~~markiert werden.~~

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

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~~== In reiner Stimmung ==~~

~~Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)~~

~~Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.~~

~~# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]].~~

~~#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).~~

~~# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2.~~

~~#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)~~

~~# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.~~

~~#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).~~

~~# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4.~~

~~#: Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).~~

~~# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7.~~

~~#: Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).~~

~~# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)~~

~~== Bedeutung bei MOS-Skalen ==~~

Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

~~# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]~~

~~# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]~~

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

== Siehe auch ==

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 == In reiner Stimmung ==
-Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
+Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
 Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
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 Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.
-Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Schrittverhältniswert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
+Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]] dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
-# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]. L/s = 3/1
+# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
-## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent), die Quinte des Superpyth-EDOs 22-EDO. L/s = 4/1
+## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
-### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 5/1
+### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
-### Ein Diatonisch-EDO mit L/s-Wert 7/2
+### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
-## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), die Quinte des “Neogotisch”-EDOs 29-EDO. L/s = 5/2
+## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
-# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]
+# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
-## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO 31-EDO, mit L/s-Wert 5/3
+## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
-## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom Flattone-EDO 26-EDO, mit L/s-Wert 4/3
+## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3
-Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
+Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
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-== In reiner Stimmung ==
-Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
-Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
-# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]].
-#: Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent).
-# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2.
-#: Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent)
-# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.
-#: Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
-# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4.
-#: Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
-# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7.
-#: Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
-# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)
-== Bedeutung bei MOS-Skalen ==
-Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der '''Skalenbaum''' des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.
-Hier bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
-# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
-# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]
-Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.
 == Siehe auch ==