Mediant: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier ~~(vollständig gekürzter)~~ Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), ~~der~~ Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

~~Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:~~

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.

# ~~Sukzessive~~ Medianten-Operationen ~~können dazu dienen~~, ~~einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu~~ beliebiger Genauigkeit ~~approximiert~~. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

== In reiner Stimmung ==

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und ~~[[2~~/1~~]] (Oktave~~) ist ~~[[3~~/~~2]]~~, ~~also~~ die ~~reine perfekte Quinte~~. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.

# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).

# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1. Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)

# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)

# 4/3 > 450 Cent, neues R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).

# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).

# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).

# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

~~Ein leicht komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert~~ in ~~der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.~~

Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.

~~# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent) > 450 Cent.~~

~~# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent) (> 450 Cent)~~

~~# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).~~

~~# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).~~

~~# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).~~

~~# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter~~.)

== Bedeutung bei MOS-Skalen ==

In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[~~diatonisch~~]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]] dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1

## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1

### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1

### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2

## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2

# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2

## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3

## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.

== Siehe auch ==

~~# M(7\12~~, ~~3\5) = 10\17 (706 Cent), von~~ [[17-~~EDO~~]]

* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]

~~# M~~(~~7\12, 4\7~~) ~~= 11\19~~ (~~695 Cent~~)~~, von [[19-EDO]]~~

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]

* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey-Folge – Wikipedia]

* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]

* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)

[[Kategorie:Mathematik]]

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-Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
+Der '''Mediant''', die '''Mediante''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), gegebenenfalls ungekürzt. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
-<math>\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.</math>
+[math]\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.[/math]
+Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:
-Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
 # Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
-# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)
+# Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)
 == In reiner Stimmung ==
-Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche [[1/1]] (Einklang) und [[2/1]] (Oktave) ist [[3/2]], also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
+Das einfachste Beispiel: Der Mediant der (bloß formalen) Brüche [[1/1]] (Einklang) und 1/0 (undefiniert, aber hat abstraktere Bedeutung im 1-dimensionalen projektiven Raum) ist 2/1, die Oktave. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)
+Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
+# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = 1/0.  Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 1/0) = (1+1)/(1+0) = 2/1 (≈ 1200 Cent).
+# Da 2/1 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 2/1.  Ergebnis = M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent)
+# Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir nochmals den rechten Grenzwert auf R := 3/2.  Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
+# 4/3 > 450 Cent, neues R = 4/3.  Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
+# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4.  Ergebnis = M(5/4, 4/3) = (5+4)/(4+3) = 9/7 (≈ 435 Cent).
+# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7.  Ergebnis = M(9/7, 4/3) = (9+4)/(7+3) = 13/10 (≈ 454 Cent).
+# ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)
-Ein leicht komplizierteres Beispiel: Nehmen wir an, dass wir ein JI-Wert in der Nähe von 450 [[Cent]] möchten.
+Jeglicher Schritt dieses Algorithmus ergibt einen Bruch in gekürzter Form.
-# Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = [[1/1]] und dem "rechten" Wert R = [[2/1]]. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = '''3/2''' (≈ 702 Cent) > 450 Cent.
-# Da 3/2 ''über'' 450 Cent liegt, setzen wir den ''rechten'' Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = '''4/3''' (≈ 498 Cent) (> 450 Cent)
-# Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = '''5/4''' (≈ 386 Cent).
-# 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = '''9/7''' (≈ 435 Cent).
-# 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = '''13/10''' (≈ 454 Cent).
-# ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)
 == Bedeutung bei MOS-Skalen ==
-In Zusammenhang mit MOS-Skalen bieten [[diatonisch]]e Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische [[MOS-Skala]] ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
+Im Zusammenhang mit [[MOS-Skalen]] wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche [[EDO]]-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.
+Hier bieten [[Diatonisch|diatonische]] Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von [[12-EDO]] (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der [[5-EDO]]-Quinte 3\5 (720 Cent) und der [[7-EDO]]-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. ([[5-EDO]] und [[7-EDO]] sind die EDOs, die für das MOS-Muster [[5L2s]] den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der [[Härte|L/s-Wert]] dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:
+# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]], mit L/s-Wert 3/1
+## Um das noch größer zu machen, berechnen wir noch einmal den Medianten mit 3\5. Dabei erhalten wir M(10\17, 3\5) = 13\22 (709 Cent) vom [[Superpyth]]-EDO [[22-EDO]], mit L/s-Wert 4/1
+### M(13\22, 3\5) = 16\27 vom Superpyth-EDO [[27-EDO]] mit L/s-Wert 5/1
+### M(13\22, 10\17) = 23\39 von [[39-EDO]], mit L/s-Wert 7/2
+## Um das ein bisschen zu verkleinern: M(10\17, 4\7) = 15\29 (703 Cent), vom “[[Neogotisch]]”-EDO [[29-EDO]] mit L/s-Wert 5/2
+# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), vom [[mitteltönig]]en EDO [[19-EDO]] mit L/s-Wert 3/2
+## M(11\19, 7\12) = 18\31 (697 Cent), vom mitteltönigen EDO [[31-EDO]] mit L/s-Wert 5/3
+## M(11\19, 4\7) = 15\26 (692 Cent), vom [[Flattone]]-EDO [[26-EDO]], mit L/s-Wert 4/3
+Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich vom diatonischen “Generatorpaar” (3\5, 4\7) ergibt, lässt sich in der Tat als eine exakte Kopie des ganzen Baumes ansehen, wenn seine Knoten mit den entsprechenden diatonischen L/s-Werten markiert werden.
+== Siehe auch ==
-# M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von [[17-EDO]]
+* [https://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2006%20Band%2039/VortragHumenberger.pdf Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen]
-# M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von [[19-EDO]]
+* [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_der_Mittelzahlen Regel der Mittelzahlen – Wikipedia]
+* [https://de.wikipedia.org/wiki/Farey-Folge Farey&#45;Folge – Wikipedia]
+* [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch Kettenbruch – Wikipedia]
+* [[Wikipedia: Mediant (mathematics)]] (englisch)
 [[Kategorie:Mathematik]]