Mediant

Der Mediant bzw. die Farey-Summe zweier (vollständig gekürzter) Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), ebenfalls in gekürzter Form. Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}. }[/math]

Die Bedeutung der Medianten-Operation für Theorie und Praxis der (xenharmonischen) Musik ergibt sich aus folgenden Eigenheiten:

1. Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
2. Wiederholte Medianten-Operationen lassen sich nutzen, um eine nichtrationale Zahl mit beliebiger Genauigkeit durch eine rationale Zahl anzunähern. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

In reiner Stimmung

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche 1/1 (Einklang) und 2/1 (Oktave) ist 3/2, die reine Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 Cent möchten.

1. Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = 1/1 und dem "rechten" Wert R = 2/1.

   Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent).

2. Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 3/2.

   Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)

3. Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3.

   Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).

4. 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4.

   Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = 9/7 (≈ 435 Cent).

5. 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7.

   Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = 13/10 (≈ 454 Cent).

6. ... (sobald das Ergebnis nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, stoppen wir)

Bedeutung bei MOS-Skalen

Im Zusammenhang mit MOS-Skalen wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche EDO-Generatorwerte eines gegebenen MOS-Musters dar (wobei m\n = m Schritte von n-EDO). Hier heißt der sich ergebende Baum der Skalenbaum des MOS-Musters, er wird genauso wie der Stern-Brocot-Baum durch Medianten-Operationen konstruiert.

Hier bieten diatonische Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von 12-EDO (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der 5-EDO-Quinte 3\5 (720 Cent) und der 7-EDO-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. (5-EDO und 7-EDO sind die EDOs, die für das MOS-Muster 5L2s den zwei trivialen L/s-Werten 1/0 resp. 1/1 entsprechen, und bei 7\12 ist der L/s-Wert dementsprechend deren Mediant, also 2/1.) Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man hingegen weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

1. M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von 17-EDO
2. M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von 19-EDO

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessiven Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, also zwischen 4\7 und 3\5. Aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an eine gewünschte Größe angepasst ist. Dieser Unterbaum, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, wird in der Tat eine exakte Kopie des ganzen Baumes, wenn seine Knoten mit den entsprechenden L/s-Schrittverhältniswerten markiert werden.

Siehe auch

• Nachbarbrüche, Medianten und Farey-Reihen – entdeckender und verständiger Umgang mit Brüchen
• Farey-Folge – Wikipedia
• Kettenbruch – Wikipedia
• Wikipedia: Mediant (mathematics) (englisch)