Mediant

Der Mediant bzw. die Farey-Summe zweier (vollständig gekürzter) Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d), der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen und ist selbst ein gekürzter Bruch:

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}. }[/math]

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:

1. Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
2. Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

In reiner Stimmung

Das einfachste Beispiel: Der Mediant der Brüche 1/1 (Einklang) und 2/1 (Oktave) ist 3/2, also die reine perfekte Quinte. (So startet jede Wegfindung im Stern-Brocot-Baum.)

Ein komplizierteres Beispiel (um den Wegfindungs-Algorithmus zu demonstrieren): Nehmen wir an, dass wir ein reines Frequenzverhältnis in der Nähe von 450 Cent möchten.

1. Wir starten wie immer mit dem "linken" Wert L = 1/1 und dem "rechten" Wert R = 2/1. Daher gibt der erste Schritt das Ergebnis M(1/1, 2/1) = (1+2)/(1+1) = 3/2 (≈ 702 Cent).
2. Da 3/2 über 450 Cent liegt, setzen wir den rechten Grenzwert auf R := 3/2. Ergebnis = M(1/1, 3/2) = (1+3)/(1+2) = 4/3 (≈ 498 Cent)
3. Da 4/3 über 450 Cent liegt, setzen wir das neue R = 4/3. Ergebnis = M(1/1, 4/3) = (1+4)/(1+3) = 5/4 (≈ 386 Cent).
4. 5/4 < 450 Cent, neues L = 5/4. Ergebnis = M(4/3, 5/4) = (4+5)/(3+4) = 9/7 (≈ 435 Cent).
5. 9/7 < 450 Cent, neues L = 9/7. Ergebnis = M(4/3, 9/7) = (4+9)/(3+7) = 13/10 (≈ 454 Cent).
6. ... (Wenn für uns das Ergebnis eines Schritts nahe genug am Zielintervall 450 Cent liegt, können wir dann stoppen. Anders machen wir weiter.)

Bedeutung bei MOS-Skalen

In Zusammenhang mit MOS-Skalen wird die Medianten-Operation uminterpretiert: hier stellen Brüche EDO-Generatorwerte dar.

Hier bieten diatonische Generator-Quinten das am einfachsten zu verstehende Beispiel. Der einfachste EDO-Generator für die diatonische MOS-Skala ist die Quinte 7\12 von 12-EDO (700 Cent), denn das Intervall ist der Mediant der trivialen Generatoren, nämlich der 5-EDO-Quinte 3\5 (720 Cent) und der 7-EDO-Quinte 4\7 (686 Cent): M(3\5, 4\7) = (3+4)\(5+7) = 7\12. Wenn man weiter den Medianten mit 3\5 berechnet, erhöht man dieses Generatorintervall, wenn man weiter den Medianten mit 4\7 berechnet, wird dieses Generatorintervall erniedrigt. Zum Beispiel:

1. M(7\12, 3\5) = 10\17 (706 Cent), von 17-EDO
2. M(7\12, 4\7) = 11\19 (695 Cent), von 19-EDO

Wegen der Grundeigenschaften der Medianten-Operation, bleiben die Ergebnisse der sukzessive Medianten-Operationen immer diatonische Generatorintervallen, aber man kann einen EDO-Wert berechnen, der an einer gewünschten Größe angepasst ist. Dies ist der Unterbaum des Stern-Brocot-Baumes, der sich von (3\5, 4\7) ergibt, er ist sozusagen ein "Mikrokosmos" des gesamten Stern-Brocot-Baumes.