29edo

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29edo, das Tonsystem, bei dem eine Oktave in 29 gleiche Teile unterteilt wird, hat eine hervorstechende Eigenschaft: es bietet eine bessere Annäherung der reinen Quinte als die Standardstimmung 12edo - und es ist das kleinste gleichstufige System dieser Art.

Die reine Quinte (Frequenzverhätnis 3/2) ist bekanntlich 701.955 Cent gross, die beste Approximation in 12edo (7 12edo-Schritte) 700 Cent, ein Unterschied von 1.955 Cent. 17 Schritte von 29edo dagegen ergeben 703.448 Cent, ein Unterschied von 1.493 Cent.

In Zahlen sieht das sehr klein aus - die Auswirkungen aber sind bedeutender, als es auf den ersten Blick scheinen mag. Essentiell ist, dass die Quinte von 12edo niedriger ist als die reine, die von 29edo hingegen höher - woraus folgt, dass 29edo keine mitteltönige Stimmung ist. Übereinanderschichten von 4 29edo-Quinten führt oktavreduziert zu einer 413.793 Cent grossen Approximation der pythagoräischen grossen Terz (81/64, 407.820 Cent); die beste Approximation der Naturterz (5/4, 386.314 Cent) hingegen ist einen 29edo-Schritt kleiner (372.414 Cent) und teilt sich in zwei verschieden grosse Ganztöne (5 und 4 Schritte, 206.897 und 165.517 Cent). Der "kleine Ganzton" hat dabei nicht mehr wirklich den Charakter eines Ganztons - er ist näher an der grossen neutralen Sekunde 11/10 (165.00423 Cents, auch Ptolemäus-Sekunde genannt) als am Intervall 10/9 (182.40371 Cents). In der Tat wird der Unterschied zwischen 10/9 und 11/10, das Ptolemäus-Komma, von 29edo austemperiert.

(Super-)Pyth

29edo kann für traditionelle Musik in der Art von Barock/Klassik verwendet werden - die exzellente Quinte erlaubt die Konstruktion der vertrauten diatonischen Skalen, einfach nicht mit mitteltönigem, sondern eher pythagoräischem Klangbild. Der diatonische Halbton ist entsprechend pythagoräisch-klein (82.759 Cents). Der chromatische Halbton ist umgekehrt eher gross (124.138 Cent), er liegt nahe beim reinen Intervall 14/13 (128.29824 Cents) und kann quasi als kleine neutrale Sekunde (Zweidrittelton) gehört werden.

(Super-)pythagoräische Durskala unbd Kadenz in 29edo Traditionelle diatonische Durskala und Kadenz in 12edo, zum Vergleich

Schismatisch, Garibaldi

An regulären Temperaturen, welche 29edo unterstützen, wäre die schismatische Temperatur zu nennen, mit Approximation der pythagoräischen Terz durch Übereinanderschichten von 4 Quinten und Approximation der Naturterz durch Übereinanderschichten von 8 Quarten, als Fes notiert, und deren 7-Limit-Erweiterung Garibaldi, bei der 14 geschichtete Quarten oktavbereinigt eine Approximation der Naturseptime 7/4 ergeben (welche in 29edo allerdings nicht besonders gut getroffen wird).

Nautilus

Der "kleine Ganzton" bzw. die grosse neutrale Sekunde von 29edo ist genau ein Drittel so gross wie dessen Quarte und bildet einen guten Generator für eine Porcupine-Temperatur. Der kleine Ganzton ist mit einer Grösse von 4 Schritten ausserdem seinerseits halbierbar (die Quarte also durch 6 teilbar), was einen Generator für eine Nautilus-Temperatur ergibt. 29edo gilt als quasi optimales gleichstufiges System für Nautilus.

Nautilus[14]-Skala (Lsssssssssssss) in 29edo

Nicetone

Die Approximation der reinen Durtonleiter in 29edo mit der besten Approximation der grossen Terz 5/4 ergibt eine Skala der Form 5435453, die, wie man sieht, Intervalle in drei verschiedenen Grössen enthält (Sekunden in 3, 4 und 5 29edo-Schritten), also keine MOS-Skala ist. Die in ihr vorkommenden Terzen haben 7, 8 und 9 29edo-Schritte, wobei 8 und 9 den Approximationen von „herkömmlicher“ kleiner und grosser Terz entsprechen und 7 einer zusätzlichen, noch kleineren Terz, die sich als fast perfekte Approximation (kaum ein halbes Cent Unterschied) des Intervalls 13/11 präsentiert. Bei den Quarten gibt es neben solchen mit 12 (Approximation der reinen Quarte 4/3) und 14 Schritten (kleiner Tritonus) noch eine mit 13 Schritten, die weniger als 1 Cent vom reinen Intervall 15/11 entfernt liegt. Diese zusätzlichen Intervalle sowie die damit in der Skala gebildeten Dreiklänge können auf ihre eigene, leicht exotische Weise als konsonant gelten, und insgesamt ergibt sich eine Harmonik, die der traditionellen in 12edo verblüffend ähnlich ist.

Für dieses Tonsystem wurde im englischen Xenwiki der (nicht besonders originelle) Begriff „Nicetone“ (nett-tönige Temperatur) geprägt.


Nicetone-Skala und Kadenz

Orientalische Musik

Die Verfügbarkeit von zwei verschiedenen Intervallen vom Charakter neutraler Sekunden rückt auch die Verwendung von 29edo für gewisse Arten orientalischer, und zwar insbesondere türkischer, Musik in den Blick. Die Eigenschaft von 29edo, dass ein (grosser) Ganzton plus eine grosse neutrale Sekunde (Ptolemäus-Sekunde) zur Approximation einer grossen Terz führen, ist eine Tonbeziehung, die sich auch in türkischen Tonsystemen findet - weniger jedoch in arabischen, wo die analoge Intervallkombination tendenziell eher eine neutrale Terz ergibt. Für türkische Musik hingegen erfüllt 29edo nicht nur die Mindestanforderungen, sondern sogar eine Stufe mehr.