Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet. | Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet. | ||
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[ | Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten). | ||
Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.) | Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.) | ||