Val

Einführungsartikel reguläre Temperaturen

Mathematischer Ansatz: Verallgemeinerte reguläre Temperaturen

Als "Val" wird eine lineare Funktion auf dem Intervallraum bezeichnet, also, kurz gesagt, ein Mitglied des dualen Vektorraums zum Intervallraum.

Vals werden als BRA-Vektoren notiert. Die Anwendung der entsprechenden Funktion auf einen Intervallvektor wird dann als Bra-Ket notiert (siehe auch Umrechnung von Intervallvektoren in Cents )

Der Prototyp eines Vals ist die Funktion, welche aus einem Intervallvektor den Zweier-Logarithmus des Frequenzverhätnisses des entsprechenden Intervalls errechnet, das Intervall der reinen Prim also auf 0 abbildet, die Oktave auf 1. Der BRA-Vektor dafür ist:

<log2(2), log2(3), log2(5),...|

bzw., in Dezimalzahlen:

<1, 1.58496, 2.32193,...|

Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung.

Eine temperierte Stimmung kann man definieren, indem man einen (typischerweise nur leicht) anderen Val verwendet. Im Falle einer mitteltönigen Temperatur würde also der Intervallvektor der reinen Quinte |-1, 1, 0> nicht auf log2(3/2) abgebildet, sondern auf einen etwas kleineren Wert.

Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im Kern der Val-Abbildung.

Im Fall einer mitteltönigen Temperatur käme wieder das syntonische Komma 81/80 zum Zug, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1> . Für den Val <x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:

<x1,x2,x3||−4,4,−1>=0

also

−4∗x1+4∗x2−x3=0

Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sein werden. Eine für praktische Zwecke sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also

<x1,x2,x3||1,0,0>=log2(2)=1

woraus folgt:

x1=1

In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich

4∗x2−x3−4=0

Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ( 1/3-, 1/4-, 1/6- oder 2/7-Komma mitteltönigen Stimmung, Lucy-Stimmung, und streng mathematisch auch die rein pythagoräische Stimmung sowie superpythagoräische Systeme) stehen. Durch Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung.

Beispielsweise erhält man die Viertelkomma-mitteltönige Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung <x1, x2, x3 ||-2, 0, 1> = log2(5/4) ergibt.

Die Bedingung, dass die kleine Terz 6/5 rein sein soll, ergibt demgegenüber die Gleichung <x1, x2, x3 ||1, 1, -1> = log2(6/5), und die entsprechende Temperatur ist die Drittelkomma-mitteltönige Stimmung.

Die Bedingung schliesslich, dass die Quinte 3/2 rein sein soll, ergibt die Gleichung <x1, x2, x3 ||-1, 1, 0> = log2(3/2) und die pythagoräische Stimmung.