Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich: | Eine eindeutige Charakterisierung von verallgemeinerten regulären Temperaturen ist u.a. wie folgt möglich: | ||
<ul><li>über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste</li><li>über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste</li><li>über einen "wedgie"</li></ul> | <ul><li>über eine normierte "[[Val|Val]]"-Liste</li><li>über eine normierte [[Komma|Komma]]-Liste</li><li>über einen "wedgie"</li><li>als lineare Transformationen im [[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren|rationalen Intervallraum]]</li></ul> | ||
Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die | Für eine konzentrierte mathematische Einführung in die Theorie der reguläre Temperaturen siehe auch (englischsprachiger Artikel): | ||
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008. | Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: [http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf Tuning continua and keyboard layouts], Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008. | ||
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet. | Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation Äquivalenzklassen] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul Quotientenmoduls]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo den vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submodul betrachtet. | ||
Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[ | Die Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur heisst auf englisch [[:en:abstract_regular_temperament|abstract regular temperament]]. Die abstrakte oder verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den gemeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkomma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] etc. Streng mathematisch gesehen umfasst sie auch die rein [[pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung (reine Quinten) sowie [[Superpyth|superpythagoräische]] Systeme (erhöhte Quinten). | ||
Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.) | Jede [http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20 Basis] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, wieder strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. (In der Praxis ist ein Element der Basis in der Regel der Vektor |1, 0, 0>, also das Intervall der reinen Oktave, welches gleichzeitig als Periode fungiert, das andere Element der Basis dementsprechend als Generator.) | ||
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension. | Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das [[Tonsystem]] einer mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension. | ||
=Charakterisierung über "Vals"= | =Charakterisierung über "Vals"= | ||
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[[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]] | [[:en:Wedgies_and_Multivals|englischsprachiger Artikel]] | ||
=Transformationen im rationalen Intervallraum= | |||
[[Gebrochenzahlige_Intervallvektoren]] | |||
=Höherdimensionale Temperaturen= | =Höherdimensionale Temperaturen= | ||
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Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur. | Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufige]] Temperatur. | ||
Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo| | Beispiel: Wenn man bei einer mitteltönigen Stimmung zusätzlich das [[531441/524288|pythagoräische Komma]] austemperiert, erhält man das bekannte [[12edo|12-EDO]]. | ||
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Wenn man dort ein Komma austemperiert, ist das Resultat in der Regel ebenfalls eine gleichstufige Temperatur. | |||
Es kommen im 3-Limit-Intervallraum natürlich nur Kommas in Frage, welche nur die Primzahlen 2 und 3 enthalten. Das trifft etwa auf das pythagoräische Komma zu; wenn man dieses in 3-Limit-Intervallraum austemperiert, bekommt man ebenfalls 12-EDO. | |||
Weitere Beispiele von 3-Limit-Temperaturen: | |||
* Austemperieren des [[256/243|pythagoräischen diatonischen Halbtons 256/243]] führt zu [[5-EDO]]. | |||
* Austemperieren des [[2187/2048|pythagoräischen chromatischen Halbtons 2187/2048]] führt zu [[7-EDO]]. | |||
= Nichtoktavische Temperaturen = | |||
[to do] | |||
[[:en:No-twos_subgroup_temperaments|englischsprachiger Artikel]] | |||
[[Category:todo:Beispiele_aufnehmen]] | |||
[[Category:todo:eingängiger_formulieren]] | [[Category:todo:eingängiger_formulieren]] | ||