Kettenbruch: Unterschied zwischen den Versionen

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Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave|Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span>

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus|Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

Alle Konvergenten sind gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine andere rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Die Semikonvergenten dagegen können potentiell eine bessere Approximation liefern, aber nicht zwangsweise. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12-EDO]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13-EDO]], [[14-EDO]], [[15-EDO]] und [[16-EDO]]) hingegen keine bessere. Die mit [[17-EDO]] assoziierte Semikonvergente könnte eine bessere Annäherung als 12edo liefern, ein Test zeigt jedoch, dass dies nicht der Fall ist. [[29-EDO]], auf der anderen Seite, stellt sich als genauere Approximation heraus, gefolgt von den Konvergenten [[41-EDO]] und [[53-EDO]]. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12-EDO die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17-EDO 10 Schritte, die in 410edo 24 Schritte und so fort.</span> [[Category:Mathematik]]