Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

Grundlage

Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. Leeres Produkt aufgefasst).

[math]\displaystyle{ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 }[/math]

Für Primzahlen selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7

...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[math]\displaystyle{ 256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8 }[/math]

Verallgemeinerung

Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.

Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten

[math]\displaystyle{ 9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3} }[/math]

Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:

[math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2 }[/math]

Man kann auch noch weiter verallgemeinern und auch als Exponenten Brüche zulassen. Siehe Gebrochenzahlige Intervallvektoren.

Notations- und Rechenhilfe

Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die Monzo-Schreibweise verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Name des Intervalls	Bruch	Monzo
Reine Quinte	3/2	| -1 1 ⟩
Große Terz	5/4	| -2 0 1 ⟩
Große Sexte	5/3	| 0 -1 1 ⟩
Syntonisches Komma	81/80	| -4 4 -1 ⟩
Pythagoreisches Komma	531441/524288	| -19 12 ⟩
Prime	1	| 0 ⟩ oder |⟩

Umrechnung von Intervallvektoren in Cents

Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in Cents auf eine besondere, elegante Weise.

Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log2(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:

[math]\displaystyle{ log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle }[/math]

Dies ist Bra-Ket-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").

Verweise

• Primfaktorzerlegung – Wikipedia
• Prime Factorization of 24512 - www.isprimenumber.com
• Primfaktorisierung - primzahlen.zeta24.com