Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird. | Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird. | ||
==Grundlage== | == Grundlage == | ||
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst). | Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst). | ||
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<math>256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</math> | <math>256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</math> | ||
==Verallgemeinerung== | == Verallgemeinerung == | ||
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen. | Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen. | ||
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<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math> | <math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math> | ||
==Notations- und Rechenhilfe== | Man kann auch noch weiter verallgemeinern und auch als Exponenten Brüche zulassen. Siehe [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]]. | ||
== Notations- und Rechenhilfe == | |||
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen). | Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen). | ||
Die '''[[Monzo | Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen): | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
! | ! Name des Intervalls | ||
! | ! Bruch | ||
! | ! Monzo | ||
|- | |- | ||
| Reine Quinte | |||
| 3/2 | |||
| | | {{Monzo| -1 1 }} | ||
|- | |- | ||
| Große Terz | |||
| 5/4 | |||
| | | {{Monzo| -2 0 1 }} | ||
|- | |- | ||
| Große Sexte | |||
| 5/3 | |||
| | | {{Monzo| 0 -1 1 }} | ||
|- | |- | ||
| | | [[Syntonisches Komma]] | ||
| 81/80 | |||
| | | {{Monzo| -4 4 -1 }} | ||
|- | |- | ||
| | | [[Pythagoreisches Komma]] | ||
| 531441/524288 | |||
| | | {{Monzo| -19 12 }} | ||
|- | |- | ||
| Prime | |||
| 1 | |||
| | | {{Monzo| 0 }} oder {{Monzo|}} | ||
|} | |} | ||
=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents= | == Umrechnung von Intervallvektoren in Cents == | ||
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[ | Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise. | ||
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen: | Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen: | ||
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Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra"). | Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra"). | ||
==Verweise== | == Verweise == | ||
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia] | |||
* [http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com | |||
* [http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com | |||
[[Category:Mathematik]] | |||
[[Category:Technik]] | [[Category:Technik]] | ||
[[Category:Theorie]] | [[Category:Theorie]] | ||