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Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die '''Primfaktorzerlegung''' einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.
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: The revision comment was: <tt></tt><br>
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<h4>Original Wikitext content:</h4>
<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.


==Grundlage==  
== Grundlage ==
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt Leeres Produkt] aufgefasst).


[[math]]
<math>36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</math>
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
[[math]]


[[math]]
<math>1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13</math>
1001 = 7 \times 11 \times 13
[[math]]


Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:
Für [[Primzahlen|Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:


7 = 7
7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.


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Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist


[[math]]
<math>256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</math>
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
 
[[math]]
== Verallgemeinerung ==
Bis auf das Vorzeichen lässt sich das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.
 
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten


==Verallgemeinerung==
<math>9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</math>
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.


[[math]]
Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:
9/8 = 3^2 \times 2^-3
[[math]]


Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:
<math>3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</math>


Aus
Man kann auch noch weiter verallgemeinern und auch als Exponenten Brüche zulassen. Siehe [[Gebrochenzahlige Intervallvektoren]].
[[math]]
3^2 \times 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung
[[math]]
2^{-3} \times 3^2
[[math]]


==Notations- und Rechenhilfe==  
== Notations- und Rechenhilfe ==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).


Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
Die '''[[Monzo-Schreibweise]]''' verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
 
{| class="wikitable"
|-
! Name des Intervalls
! Bruch
! Monzo
|-
| Reine Quinte
| 3/2
| {{Monzo| -1 1 }}
|-
| Große Terz
| 5/4
| {{Monzo| -2 0 1 }}
|-
| Große Sexte
| 5/3
| {{Monzo| 0 -1 1 }}
|-
| [[Syntonisches Komma]]
| 81/80
| {{Monzo| -4 4 -1 }}
|-
| [[Pythagoreisches Komma]]
| 531441/524288
| {{Monzo| -19 12 }}
|-
| Prime
| 1
| {{Monzo| 0 }} oder {{Monzo|}}
|}
 
== Umrechnung von Intervallvektoren in Cents ==
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise.
 
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung gilt, um auf das obigen Beispiel (9/8) zurückzukommen:
 
<math>log2(2^{-3} \cdot 3^2) = (-3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3)) = \langle log2(2), log2(5) | | -3, 2\rangle</math>


Quinte = 3/2 = |-1 1&gt;
Dies ist [http://mathworld.wolfram.com/Ket.html Bra-Ket]-Schreibweise. (Der Vektor &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra").
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;
Prime = 1 = |0&gt; (oder |&gt;)


== Verweise ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung Primfaktorzerlegung – Wikipedia]
* [http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512 Prime Factorization of 24512] - www.isprimenumber.com
* [http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php Primfaktorisierung] - primzahlen.zeta24.com


==Verweise==
[[Category:Mathematik]]
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
[[Category:Technik]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
[[Category:Theorie]]
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com</pre></div>
<h4>Original HTML content:</h4>
<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Primfaktorzerlegung&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;Die &lt;strong&gt;Primfaktorzerlegung&lt;/strong&gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc0"&gt;&lt;a name="x-Grundlage"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&gt;Grundlage&lt;/h2&gt;
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
1001 = 7 \times 11 \times 13&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;1001 = 7 \times 11 \times 13&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Für &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
7 = 7&lt;br /&gt;
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc1"&gt;&lt;a name="x-Verallgemeinerung"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 --&gt;Verallgemeinerung&lt;/h2&gt;
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
9/8 = 3^2 \times 2^-3&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;9/8 = 3^2 \times 2^-3&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Aus &lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
3^2 \times 2^{-3}&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt; 3^2 \times 2^{-3}&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --&gt;&lt;br /&gt;
wird nach dem Sortieren die Darstellung &lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
2^{-3} \times 3^2&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
--&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;2^{-3} \times 3^2&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc2"&gt;&lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 --&gt;Notations- und Rechenhilfe&lt;/h2&gt;
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Die &lt;strong&gt;&lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&gt;Monzo&lt;/a&gt;-Schreibweise&lt;/strong&gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Quinte = 3/2 = |-1 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;&lt;br /&gt;
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;&lt;br /&gt;
Prime = 1 = |0&amp;gt; (oder |&amp;gt;)&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc3"&gt;&lt;a name="x-Verweise"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 --&gt;Verweise&lt;/h2&gt;
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&lt;/a&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&gt;Prime Factorization of 24512&lt;/a&gt; - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&gt;Primfaktorisierung&lt;/a&gt; - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>
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