Odd-Limit

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Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff Prim-Limit oder P-Limit, geht zurück auf Harry Partch. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form 2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des Tonalitätsdiamanten zur Zahl q.