Kettenbruch
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[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]] Die Theorie der Kettenbrüche kann benutzt werden, um "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden, und zwar wie folgt: Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basos 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigendf von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenmten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperemanten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern. Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625... Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...] Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29. Jede dieser rationalen Zaheln ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherumg für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (13edo, 14edo,15edo und 16edo) hingegen schlechtere, 17edo dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere i00st dann 29edo, gefolgt von 41edo und 53edo.
Original HTML content:
<html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br /> <br /> Die Theorie der Kettenbrüche kann benutzt werden, um "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden, und zwar wie folgt:<br /> <br /> Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basos 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigendf von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenmten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperemanten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.<br /> <br /> Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br /> <br /> Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]<br /> <br /> Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br /> <br /> Jede dieser rationalen Zaheln ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherumg für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (13edo, 14edo,15edo und 16edo) hingegen schlechtere, 17edo dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere i00st dann 29edo, gefolgt von 41edo und 53edo.</body></html>