Kettenbruch
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[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]] Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden. Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span> Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625... Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...] Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29. Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (</span><span style="line-height: 1.5;">[[13edo]]</span><span style="line-height: 1.5;">, </span><span style="line-height: 1.5;">[[14edo]]</span><span style="line-height: 1.5;">,</span><span style="line-height: 1.5;">[[15edo]]</span><span style="line-height: 1.5;"> und </span><span style="line-height: 1.5;">[[16edo]]</span><span style="line-height: 1.5;">) hingegen schlechtere, </span><span style="line-height: 1.5;">[[17edo]]</span><span style="line-height: 1.5;"> dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann </span><span style="line-height: 1.5;">[[29edo]]</span><span style="line-height: 1.5;">, gefolgt von </span><span style="line-height: 1.5;">[[41edo]]</span><span style="line-height: 1.5;"> und </span><span style="line-height: 1.5;">[[53edo]]</span><span style="line-height: 1.5;">. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span>
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<html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br /> <br /> Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br /> <br /> Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus <span style="line-height: 1.5;">der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.</span><br /> <br /> Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br /> <br /> Der Beginn der Kettenbruchdarstellung davon (siehe Link oben) ist: [ 0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5...]<br /> <br /> Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br /> <br /> Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstu<span style="line-height: 1.5;">figen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (</span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a></span><span style="line-height: 1.5;">, </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a></span><span style="line-height: 1.5;">,</span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a></span><span style="line-height: 1.5;"> und </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a></span><span style="line-height: 1.5;">) hingegen schlechtere, </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a></span><span style="line-height: 1.5;"> dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a></span><span style="line-height: 1.5;">, gefolgt von </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a></span><span style="line-height: 1.5;"> und </span><span style="line-height: 1.5;"><a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a></span><span style="line-height: 1.5;">. Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html>