Mediant: Unterschied zwischen den Versionen
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Inthar (Diskussion | Beiträge) strict inequality |
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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' | Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''). Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen: | ||
<math>\frac{a}{b} | <math>\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.</math> | ||
Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich | Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind: | ||
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen. | # Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen. | ||
# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.) | # Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.) | ||
Version vom 1. Juli 2021, 06:06 Uhr
Der Mediant bzw. die Farey-Summe zweier (vollständig gekürzter) Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+c)/(b+d). Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}. }[/math]
Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
- Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
- Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)