Kettenbruch: Unterschied zwischen den Versionen
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]] | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">[[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch|Kettenbruch (Wikipedia)]] | ||
Die Theorie der Kettenbrüche | Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden. | ||
Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur | Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern. | ||
Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625... | Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625... | ||
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Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29. | Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29. | ||
Jede dieser rationalen | Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung [[12edo]] eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen ([[13edo]], [[14edo]],[[15edo]] und [[16edo]]) hingegen schlechtere, [[17edo]] dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann [[29edo]], gefolgt von [[41edo]] und [[53edo]]. <span style="line-height: 1.5;">Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></pre></div> | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Kettenbruch</title></head><body><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch" rel="nofollow">Kettenbruch (Wikipedia)</a><br /> | ||
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Die Theorie der Kettenbrüche | Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie, Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.<br /> | ||
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Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur | Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus zur Basis 2 der Frequenz) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.<br /> | ||
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Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br /> | Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der Zweierlogarithmus hat den Wert 0.5849625...<br /> | ||
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Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br /> | Die entsprechenden Konvergenten sind: 0, 1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53. Dazu kommen Semikonvergenten 2/3, 4/7, 10/17, 17/29.<br /> | ||
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Jede dieser rationalen | Jede dieser rationalen Zahlen ist gemäss der Theorie der Kettenbrüche eine optimale Approximation der ursprünglichen Zahl in dem Sinn, dass keine rationale Zahl mit gleichem oder kleinerem Nenner eine bessere Approximation liefert. Das heisst in diesem Zusammenhang zum Beispiel, dass die heute am weitesten verbreitete Stimmung <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a> eine bessere Annäherung für die reine Quinte liefert als alle kleineren gleichstuifigen Unterteilungen, die folgenden Unterteilungen (<a class="wiki_link" href="/13edo">13edo</a>, <a class="wiki_link" href="/14edo">14edo</a>,<a class="wiki_link" href="/15edo">15edo</a> und <a class="wiki_link" href="/16edo">16edo</a>) hingegen schlechtere, <a class="wiki_link" href="/17edo">17edo</a> dann wieder eine noch bessere.Die nächstbessere ist dann <a class="wiki_link" href="/29edo">29edo</a>, gefolgt von <a class="wiki_link" href="/41edo">41edo</a> und <a class="wiki_link" href="/53edo">53edo</a>. <span style="line-height: 1.5;">Ferner sieht man, dass die Approximation der Quinte in 12edo die vertrauten 7 Schritte enthält, die Quinte in 17edo 10 Schritte, die in 41edo 24 Schritte und so fort.</span></body></html></pre></div> | ||