Kettenbruch: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...

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Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &quot;optimale&quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in <a class="wiki_link" href="/edo">gleichstufigen Temperamenten</a> zu finden.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der <a class="wiki_link" href="/Prime">Prim</a> zur <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &quot;optimalen&quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.

Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der <a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus">Zweierlogarithmus</a> hat den Wert 0.5849625...

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 Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, "optimale" Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in [[edo|gleichstufigen Temperamenten]] zu finden.
-Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;
+Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der [[Prime|Prim]] zur [[Oktave]] aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von "optimalen" Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;
 Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der [[Zweierlogarithmus]] hat den Wert 0.5849625...
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 Die Theorie der Kettenbrüche hat diverse Anwendungen in der Musiktheorie. Eine davon ist es, &amp;quot;optimale&amp;quot; Annäherungen von reinen (rationalen) Musikintervallen in &lt;a class="wiki_link" href="/edo"&gt;gleichstufigen Temperamenten&lt;/a&gt; zu finden.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der Prim zur Oktave aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;quot;optimalen&amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
+Rationale Intervalle in Log2-Darstellung (d.h. der Logarithmus &lt;span style="line-height: 1.5;"&gt;der Frequenz zur Basis 2) erscheinen als irrationale Zahlen (von der &lt;a class="wiki_link" href="/Prime"&gt;Prim&lt;/a&gt; zur &lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&gt;Oktave&lt;/a&gt; aufsteigend von 0 nach 1), Intervalle von gleichstufigen Temperamenten hingegen als rationale Zahlen, wobei der Nenner die Unterteilung der Oktave angibt. Die Kettenbruch-Darstellung eine irrationalen Zahl nun liefert eine Reihe von &amp;quot;optimalen&amp;quot; Approximationen dieser Zahl durch rationale Zahlen - mithin eine Reihe von gleichstufigen Temperamenten, die das betreffende Intervall besonders gut annähern.&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
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 Beispiel: reine Quinte (Frequenzverhältnis 3/2). Der &lt;a class="wiki_link" href="/Zweierlogarithmus"&gt;Zweierlogarithmus&lt;/a&gt; hat den Wert 0.5849625...&lt;br /&gt;