Mediant: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' ~~der~~ (vollständig ~~gekürzten~~) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ~~ist~~ immer zwischen ~~die zwei Brüche: wenn a/b < c/d, gilt für ihren Medianten~~:

Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''). Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich~~, aus folgenden Gründen~~:

Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:

# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.

# Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)

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-Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b < c/d, gilt für ihren Medianten:
+Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' zweier (vollständig gekürzter) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''c'')/(''b''+''d''). Der Mediant liegt immer zwischen den beiden Brüchen:
-<math>\frac{a}{b} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{c}{d}.</math>
+<math>\frac{a}{b} \leq \frac{a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d}.</math>
-Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
+Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der (xenharmonischen) Musiktheorie und auch praktisch nützlich. Die Gründe dafür sind:
 # Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
 # Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)