Mediant: Unterschied zwischen den Versionen
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Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b < c/d, gilt für ihren Medianten: | Der '''Mediant''' bzw. die '''Farey-Summe''' der (vollständig gekürzten) Brüche ''a''/''b'' und ''c''/''d'' ist definiert als (''a''+''b'')/(''c''+''d''). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b < c/d, gilt für ihren Medianten: | ||
<math>\frac{a}{b} | <math>\frac{a}{b} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{c}{d}.</math> | ||
Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen: | Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen: | ||
Version vom 1. Juli 2021, 05:43 Uhr
Der Mediant bzw. die Farey-Summe der (vollständig gekürzten) Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+b)/(c+d). Der Mediant ist immer zwischen die zwei Brüche: wenn a/b < c/d, gilt für ihren Medianten:
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} < \frac{a+b}{c+d} < \frac{c}{d}. }[/math]
Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
- Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
- Sukzessive Medianten-Operationen können dazu dienen, einen Wert zu finden, der an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit approximiert. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)