Mediant: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich. | Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen: | ||
# Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen. | |||
# Sukzessive Medianten-Operationen dazu dienen können, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren. (Dies basiert auf dem [[Stern-Brocot-Baum]], in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.) | |||
== Der Mediant in reiner Stimmung == | == Der Mediant in reiner Stimmung == | ||
Version vom 1. Juli 2021, 05:09 Uhr
Der Mediant bzw. die Farey-Summe der (vollständig gekürzten) Brüche a/b und c/d ist definiert als (a+b)/(c+d). Wenn a/b < c/d, gilt für diese Brüche:
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{c}{d}. }[/math]
Die Medianten-Operation ist sehr wichtig in der xenharmonischen Musiktheorie und auch praktisch nützlich, aus folgenden Gründen:
- Der Mediant zweier Brüche ist in gewissem Sinne der "einfachste" Bruch zwischen den beiden Brüchen.
- Sukzessive Medianten-Operationen dazu dienen können, an einen beliebigen reellen Wert zu beliebiger Genauigkeit zu approximieren. (Dies basiert auf dem Stern-Brocot-Baum, in dem jeder vollständig gekürzte Bruch über einen eindeutigen Pfad von der Wurzel zu erreichen ist.)