|
|
| (28 dazwischenliegende Versionen von 7 Benutzern werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
| | Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben. |
| This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
| |
| : This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on <tt>2013-04-23 07:44:22 UTC</tt>.<br>
| |
| : The original revision id was <tt>425624376</tt>.<br>
| |
| : The revision comment was: <tt></tt><br>
| |
| The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
| |
| <h4>Original Wikitext content:</h4>
| |
| <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
| |
|
| |
|
| Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.
| | Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können). |
|
| |
|
| Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:
| | Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet. |
|
| |
|
| [[math]]
| | Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert. |
| q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
| |
| [[math]]
| |
|
| |
|
| wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.
| | Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonnetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave. |
|
| |
|
| Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
| | Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. |
| [[math]] | |
| |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
| |
| [[math]] | |
|
| |
|
| Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung **Monzo** verwendet.
| | [[Kategorie:Begriff]] |
| | [[Kategorie:Intervall]] |
| | [[Kategorie:Mathematik]] |
| | [[Kategorie:Theorie]] |
|
| |
|
| Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als Eulermodul bezeichnet.</pre></div>
| | <!-- interwiki --> |
| <h4>Original HTML content:</h4>
| | [[en:Monzos and Interval Space]] |
| <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
| |
| <br />
| |
| Eine natürliche Darstellung von Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.<br />
| |
| <br />
| |
| Jede rationale Zahl q ist bekanntlich ein Produkt von Primzahlpotenzen:<br />
| |
| <br />
| |
| <!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
| |
| [[math]]&lt;br/&gt;
| |
| q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;br/&gt;[[math]]
| |
| --><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
| |
| <br />
| |
| wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sein können.<br />
| |
| <br />
| |
| Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
| |
| <!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
| |
| [[math]]&lt;br/&gt;
| |
| |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
| |
| --><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
| |
| <br />
| |
| Im englischen Xenharmonic Wiki wird für Intervallvektoren dieser Art manchmal die Bezeichnung <strong>Monzo</strong> verwendet.<br />
| |
| <br />
| |
| Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen Primzahlen bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch, ein Z-Modul), ist dreidimensional und wird manchmal als Eulermodul bezeichnet.</body></html></pre></div>
| |