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| <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
| | Als '''Intervallraum''' bezeichnen wir eine Art virtueller Karte, in der alle denkbaren musikalischen Intervalle ihren Platz haben. |
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| : This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-24 01:51:14 UTC</tt>.<br>
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| : The original revision id was <tt>425921782</tt>.<br>
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| : The revision comment was: <tt>Versuch mit einfacheren Worten zu beginnen, Beispiel ergänzt</tt><br>
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| The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
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| <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
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| Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.
| | Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstrich stehen können). |
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| Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:
| | Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, die Intervalle sind also alle "5-[[Limit]]". Der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]), ist dreidimensional (je eine Dimension für die Primzahlen 2, 3 und 5) und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet. |
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| [[math]]
| | Einbezug der nächsten Primzahl 7 (7-Limit) ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert. |
| q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
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| [[math]]
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| wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.
| | Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonnetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das dreidimensionale [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave. |
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| Ein Beispiel:
| | Je nach Bedarf und untersuchtem/gewünschtem [[Tonsystem]] kann man Teil-Intervallräume betrachten, welche nicht alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Grenze enthalten. Die reine Version der [[Bohlen-Pierce]]-Skala beispielsweise residiert im dreidimensionalen Intervallraum zu den Primzahlen 3, 5 und 7, welche aber ''nicht'' als modulo Oktave zu betrachten sind - die Oktave wie die Primzahl 2 überhaupt treten überhaupt nicht auf. Zur Untersuchung von [[arabisch, türkisch, persisch|orientalischen]] Tonsystemen wiederum wird manchmal der Intervallraum zu den Primzahlen 2, 3, 5 und 11 verwendet, da die Primzahl 11 für die in orientalischen Musikkulturen wichtigen neutralen Sekunden [[11/10]] und [[12/11]] benötigt wird, die Primzahl 7 hingegen weniger wichtig ist. |
| [[math]] | |
| \frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
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| [[math]] | |
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| Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
| | [[Kategorie:Begriff]] |
| | [[Kategorie:Intervall]] |
| | [[Kategorie:Mathematik]] |
| | [[Kategorie:Theorie]] |
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| [[math]]
| | <!-- interwiki --> |
| |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
| | [[en:Monzos and Interval Space]] |
| [[math]]
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| Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).
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| Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
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| Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].
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| Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.</pre></div>
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| <h4>Original HTML content:</h4>
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| <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
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| Eine natürliche Darstellung von Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.<br />
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| Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:<br />
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| <!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
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| [[math]]&lt;br/&gt;
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| q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;br/&gt;[[math]]
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| --><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
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| wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.<br />
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| Ein Beispiel:<br />
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| [[math]]&lt;br/&gt;
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| \frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
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| --><script type="math/tex">\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
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| Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
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| <!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
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| [[math]]&lt;br/&gt;
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| |e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
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| --><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
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| Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &quot;<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>&quot; verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
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| Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
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| Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a>.<br />
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| Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.</body></html></pre></div>
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