Blackwood-Limmisch: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition, elementare Eigenschaften=

Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich ~~gross~~ für ein ~~Komma~~, und das ~~Austemperieren~~ hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen, und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[~~5edo~~]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.

Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind (wenn wir die Oktave 2/1 als rein gestimmt voraussetzen) in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch ~~für~~ eine Reihe weiterer 5n-EDOs~~: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]]~~, [[~~20edo~~]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.

Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].

=Die zehntönige Blackwood-Skala=

[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.

[~~ToDo~~]

Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.

Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.

[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]

Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung

[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]

"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]

"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung

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 =Definition, elementare Eigenschaften=
-Die Familie der limmischen Temperaturen ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].
+Die Familie der '''limmischen Temperaturen''' ist definiert durch das Austemperieren des [[256/243|Limmas 256/243]]. Die einfachste und verbreitetste Variante, bei welcher einfach auf dem 5-[[P-Limit|Limit]]-[[Intervallraum]] das Limma austemperiert wird, ist unter dem Namen '''Blackwood''' bekannt, benannt nach dem Komponisten [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.].
-Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich gross für ein Komma, und das Austemperieren hat ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.
+Das Intervall 256/243, das entsprechend auch '''Blackwood-Komma''' genannt werden kann, ist der Unterschied zwischen 5 reinen Quarten 4/3 und 2 Oktaven 2/1 bzw. (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Unterschied zwischen 5 reinen Quinten 3/2 und 3 Oktaven 2/1. Es ist mit 90.2 [[Cent]] ziemlich viel grösser, als es Kommas sonst sind - für die meisten Menschen wird es wie ein Halbton klingen, und tatsächlich erscheint das Limma auch als diatonischer Halbton in der siebentönigen pythagoräischen Skala. Man kann es natürlich trotzdem austemperieren; das hat dann ein paar aus traditioneller Sicht durchaus merkwürdige Konsequenzen.
-Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5edo]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein Vielfaches von 5.
+Direkt aus der Definition des Intervalls folgt, dass in einer Blackwood-Temperatur das Intervall der Doppeloktave (4/1) in 5 gleiche Teile geteilt wird und ebenso das Intervall der Dreifachoktave (6/1), wobei das erstere Intervall, 480 Cent gross, die Quarte 4/3 approximiert und das letztere, 720 Cent gross, die Quinte 3/2. Beide Intervalle sind (wenn wir die Oktave 2/1 als rein gestimmt voraussetzen) in ihren Grössen fix definiert, und es sind genau die Intervalle von [[5-EDO]]. [[Gleichstufige Tonsysteme]], die Blackwood unterstützen, sind allgemein Unterteilungen der Oktave in ein [[5n-EDO|Vielfaches von 5]].
-Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, auch für eine Reihe weiterer 5n-EDOs: in [[10edo]] wie auch in [[15edo]], [[20edo]], [[25edo]] und [[30edo]] gibt es für Quarte und Quinte keine bessere Approximation als diejenigen, welche schon von 5edo geliefert werd. Erst [[35edo]] hat bessere Approximationen dieser Intervalle, doch auch diese sind immer noch um 15 Cent daneben.
+Die Approximationen von Quarte und Quinte sind dabei ziemlich schlecht, rund 18 Cents beträgt der Fehler. Dies gilt übrigens, etwas überraschend, nicht nur für 5-EDO, sondern auch eine Reihe weiterer 5n-EDOs, bis hinauf zu [[30-EDO]].
 =Die zehntönige Blackwood-Skala=
+[[MOS-Skalen]] von Blackwood haben eine Fünfteloktave als Periode, sie bestehen, auf die Oktave fortgesetzt, aus Vereinigungen mehrerer Instanzen von 5edo. Die wichtigste ist diejenige mit 10 Tönen, von der Form 5L 5s. Der Komponist [https://en.wikipedia.org/wiki/Easley_Blackwood_Jr. Easley Blackwood Jr.] gilt als der erste, der diese Skala intensiv verwendet hat, und entsprechend ist sie unter seinem Namen bekannt geworden. Die Bezeichnung "Blackwood-Skala" ohne Zusatzbeschreibung bezieht sich in der Regel auf diese zehntönige Blackwood-MOS-Skala.
-[ToDo]
+Alle 5n-EDOs grösser als 10edo enthalten mindestens eine Art der zehntönigen Blackwood-Skala (während sie in 10edo natürlich degeneriert zu einer völlig gleichförmigen, die aus sämtlichen Tönen von 10edo besteht). [[15edo]] ist die kleinste gleichstufige Stimmung, die eine nichttriviale zehntönige Blackwood-Skala enthält.
+Die zehntönige Blackwood-Skala hat nur zwei Modi, Dur (LsLsLsLsLs) und Moll (sLsLsLsLsL) - LsL entspricht einer grossen Terz und sLs einer kleinen. Wenn man in ihr Quinten übereinanderschichtet, erhält man zwei in sich geschlossene Fünferzyklen, bei der jede Note in dem einen Zyklus Grundton eines Dur-Dreiklangs ist und jede Note im anderen Zyklus Grundton eines Moll-Dreiklangs. Diese Eigenschaft findet sich in keiner anderen nicht völlig gleichförmigen Skala mit zehn oder weniger Tönen.
+[[File:BlackwoodMajor 15edo.mp3]] [[:BlackwoodMajor 15edo.mp3|BlackwoodMajor 15edo.mp3]]
+Blackwood-Dur-Skala in 15-EDO-Stimmung
+[[File:UnfairBlackwood 25edo.mp3]] [[:UnfairBlackwood 25edo.mp3|UnfairBlackwood 25edo.mp3]]
+"Unfaire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung
+[[File:FairBlackwood 25edo.mp3]] [[:FairBlackwood 25edo.mp3|FairBlackwood 25edo.mp3]]
+"Faire" Blackwood-Dur-Skala in 25-EDO-Stimmung