Odd-Limit: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Begriff ~~“Odd~~-~~Limit”~~, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Der Begriff '''Odd-Limit''', wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form 2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form 2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.

Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.

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Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.

Sinnvoll ist eine Beschränkung g auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen).

Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.

Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des [[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] zur Zahl q.

[[Category:Reine Stimmung]]

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-Der Begriff “Odd-Limit”, wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).
+Der Begriff '''Odd-Limit''', wie auch der verwandte, jedoch nicht zu verwechselnde Begriff [[P-Limit|Prim-Limit oder P-Limit]], geht zurück auf [[Harry_Partch|Harry Partch]]. Der englische Begriff wäre am ehesten mit “ungerade-Limit” zu übersetzen, denn er ist definiert für ungerade Zahlen (auf Englisch odd number).
-Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.
+Für eine positive ungerade Zahl q und eine beliebige rationale Zahl r gilt: r hat die q-Odd-Limit-Eigenschaft, wenn r von der Form  2^i*u/v ist, mit positiven ungeraden Zahlen u, v kleiner oder gleich q und i einer beliebigen (positiven oder negativen) ganzen Zahl.
 Die Menge der q-Odd-Limit-Intervalle besteht also namentlich aus den Obertönen bis zu Nummer q, den Intervallen zwischen diesen sowie deren Inversen.
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 Odd-Limit ist natürlich auch für Primzahlen definiert, die Eigenschaft ist jedoch von Prim-Limit verschieden. So sind die Intervalle 3/2 (reine Quinte) und 4/3 (reine Quarte) sowohl 3-Prim- wie 3-Odd-Limit; der große Ganzton 9/8 hingegen ist 3-Prim-Limit, jedoch 9-Odd-Limit, und der kleine Ganzton 10/9 ist ebenfalls 9-Odd-Limit, aber 5-Prim-Limit.
-Sinnvoll ist eine Beschränkung g auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen).
+Sinnvoll ist eine Beschränkung auf Frequenzverhältnisse zwischen 1/1 und 2/1 (Intervalle in oktavreduzierter Form). Die Gesamtzahl der oktavreduzierten Odd-Limit-Intervalle zu einer gegebenen Zahl q ist endlich (ein weiterer Gegensatz zu den Prim-Limit-Intervallen). Odd-Limit liefert so eine praktikable Definition für etwa die Aufgabe, eine vollständige Liste aller Intervalle mit “einfachen” Frequenzverhältnissen zu erstellen.
+Die oktavreduzierten q-Odd-Limit-Intervalle bilden die Grundmenge des [[Tonalitätsdiamant|Tonalitätsdiamanten]] zur Zahl q.
+[[Category:Reine Stimmung]]