Gebrochenzahlige Intervallvektoren: Unterschied zwischen den Versionen

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~~~~[[en:Fractional_monzos]]</~~span>~~

[[en:Fractional_monzos]]

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul].

~~__FORCETOC__~~

Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.

Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29 Z-Modul]).

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2a * 3b * 5c - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.

~~Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.~~

Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c > steht für das Intervall ~~mitv~~ Frequenzverhältnis 2a * 3b * 5c.

Für den Vektor | 1/n, 0, 0 > ergibt sich das Frequenzverhältnis 2(1/n), also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.

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[[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums <math>Q^n</math> auf sich selbst ist.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass <math>T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)</math> gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass <math>T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)</math> gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.

[To do Beispiel]

[To do ~~Beispiel:~~]

[To do Vals]

=Eigenmonzos=

Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar.

Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:

<math>T(v) = \lambda * v</math>

Der skalare Wert <math>\lambda</math> wird dabei '''Eigenwert''' genannt.

Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1.

Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0.

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.

~~[To do]~~

Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.

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-<span style="display: block; text-align: right;">[[en:Fractional_monzos]]</span>
+[[en:Fractional_monzos]]
+Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul].
-__FORCETOC__
+Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren nichtganzzahlige Werte zuzulassen.
-Wie auf der Seite [[Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung]] beschrieben, können Intervalle in reiner Stimmung, also mit rationalem Frequenzverhältnis, als Vektoren mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Der entsprechende [[Intervallraum|Intervallraum]] ist, mathematisch gesehen, ein [http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29  Z-Modul]).
+Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &gt; steht für das Intervall mit dem Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span> - nur dass a, b und c eben nichtganzzahlig sein können.
-Es ist nun, wie wir gleich sehen werden, auch musikalisch sinnvoll, als Koeffizienten der Intervallvektoren auch nichtganzzahlige Werte zuzulassen.
-Die Formel für das Frequenzverhältnis kann unverändert beibehalten werden, d. h. der Vektor | a, b, c &gt; steht für das Intervall mitv Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">a</span> * 3<span style="vertical-align: super;">b</span> * 5<span style="vertical-align: super;">c</span>.
 Für den Vektor | 1/n, 0, 0 &gt; ergibt sich das Frequenzverhältnis 2<span style="vertical-align: super;">(1/n)</span>, also die n-te Wurzel aus 2 - und das ist nichts anderes als ein Basisschritt einer [[Gleichstufige_Tonsysteme|gleichstufigen]] Stimmung, von n-[[edo|Edo]] nämlich.
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 [[Reguläre_Temperaturen|Temperierte Stimmungen]] können als Transformationen im rationalen Intervallraum beschrieben werden. Wenn v der n-dimensionale Intervallvektor eines reinen Intervalls ist, dann können wir den Intervallvektor des temperierten Intervalls schreiben als T(v), wobei T eine Abbildung des rationalen n-dimensionalen Intervallraums <math>Q^n</math> auf sich selbst ist.
-Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf lineare Abbildungen zu beschränken, also vorauszusetzen, dass <math>T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)</math> gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.
+Die Abbildung T kann dabei theoretisch beliebiger Art sein, doch es ist sehr sinnvoll, sich auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung lineare Abbildungen] zu beschränken, also vorauszusetzen, dass <math>T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)</math> gilt. Das ist nämlich nichts anderes als die Forderung, dass die Temperatur [[konsistent]] sein soll.
+[To do Beispiel]
-[To do Beispiel:]
+[To do Vals]
 =Eigenmonzos=
+Die Charakterisierung von musikalischen Temperaturen als lineare Abbildungen macht weitere Resultate aus der Theorie der linearen Algebra für die Musiktheorie nutzbar.
+Ein Phänomen bei linearen Abbildungen T eines Vektorraums auf sich selbst sind [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenvektoren], das sind Vektoren v, für die gilt:
+<math>T(v) = \lambda * v</math>
+Der skalare Wert <math>\lambda</math> wird dabei '''Eigenwert''' genannt.
+Im Hinblick auf musikalische Temperaturen interessant sind namentlich Eigenvektoren mit den Eigenwerten 0 und 1.
+Eigenvektoren mit Eigenwert 0 sind die Elemente des Kerns der linearen Abbildung, wo sich alle von der Temperatur austemperierten [[Komma|Kommas]] befinden - d. h. austemperierte Kommas sind Eigenvektoren der Temperatur mit Eigenwert 0.
+Eigenvektoren mit Eigenwert 1 beschreiben Intervalle, die von der Temperierung unverändert gelassen werden, also rein gestimmt bleiben. Bei der [[Viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönigen]] Temperatur ist das neben der Oktave 2/1 namentlich die reine grosse Terz 5/4, bei der [[Drittelkomma-mitteltönig|Drittelkomma-mitteltönigen]] Temperatur dagegen die kleine Terz 6/5, bei der [[Sechstelkomma-mitteltönig|Sechstelkomma-mitteltönigen]] Temperatur der diatonische Tritonus 45/32 und bei der [[Fünftelkomma-mitteltönig|Fünftelkomma-mitteltönigen]] Temperatur die grosse Septime 16/15.
-[To do]
+Eigenvektoren mit Eigenwert 1 werden auch als '''Eigenmonzos''' bezeichnet.