Primzahl
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**Primzahlen** sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] dargestellt werden. Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in [[Reine Stimmungen|reinen Stimmungen]] und, auf ziemlich andere Weise, bei [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufigen Tonsystemen]]. =Primzahlen und reine Stimmungen= XXX In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich. =Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme= In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere: * Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in [[12edo]], ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst. * Es gibt keine [[http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten|Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten]], wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat. * Ein Prim-EDO kann keine [[Reguläre Temperaturen|reguläre Temperatur]] unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. [[Pajara]]. Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa [[19edo]] ein Kandidat. XXX ==Verweise== * [[Primfaktorzerlegung]] * [[Intervallraum]] * English: [[xenharmonic/prime numbers]] * [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl|Primzahl – Wikipedia]]
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<html><head><title>Primzahlen</title></head><body><strong>Primzahlen</strong> sind natürliche Zahlen, die allein durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Alle anderen natürlichen Zahlen können als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> dargestellt werden.<br /> <br /> Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der Arithmetik. In der Musik können sie in verschiedener Hinsicht von Bedeutung sein - unter anderem bei musikalischen Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen">reinen Stimmungen</a> und, auf ziemlich andere Weise, bei <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufigen Tonsystemen</a>.<br /> <br /> <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:<h1> --><h1 id="toc0"><a name="Primzahlen und reine Stimmungen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Primzahlen und reine Stimmungen</h1> XXX<br /> In der klassischen Musiktheorie spielen hauptsächlich kleine Primzahlen eine Rolle: 2, 3, 5, selten 7. In xenharmonische Musik geht oft über diese klassiche Grenze hinaus (hinzu kommen z.B. 11, 13, 19), die Größen werden also auch hier nicht wirklich unhandlich.<br /> <br /> <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:<h1> --><h1 id="toc1"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 -->Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme</h1> In einer gleichstufigen Stimmung, bei der die Oktave in n gleiche Teile geteilt wird, hat die Primfaktorzerlegung der Zahl n eine Reihe von Konsequenzen für die musikalischen Strukturen des jeweiligen Tonsystems. Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt insbesondere:<br /> <ul><li>Es gibt keinen Akkord wie den vollkommen gleichförmigen verminderten Septakkord in <a class="wiki_link" href="/12edo">12edo</a>, ebenso wenig gibt es so etwas wie eine völlig gleichförmige Skala wie die Ganztonskala in 12edo - abgesehen von der vollen Menge, die sämtliche Töne des EDOs umfasst.</li><li>Es gibt keine <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modi_mit_begrenzten_Transpositionsm%C3%B6glichkeiten" rel="nofollow">Modi mit begrenzten Transpositionsmöglichkeiten</a>, wie sie der Komponist Olivier Messiaen verwendet hat.</li><li>Ein Prim-EDO kann keine <a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen">reguläre Temperatur</a> unterstützen, deren Periode ein Bruchteil der Oktave ist, wie z.B. <a class="wiki_link" href="/Pajara">Pajara</a>.</li></ul><br /> Ob das gut ist oder nicht, hängt von den jeweiligen Präferenzen ab. Wenn Mehrdeutigkeit und Unbestimmtheit schon im Tonsystem angelegt sein sollen, für überraschende Modulationen etwa oder für ein schwebendes, impressionistisches Klangbild, sind ggf. eher Nicht-Prim-Systeme von Vorteil. Andererseits kann es z.B. gewünscht sein, eine nicht-gleichförmige Ganztonskala zur Verfügung zu haben. Für diesen Fall wäre dann etwa <a class="wiki_link" href="/19edo">19edo</a> ein Kandidat.<br /> XXX<br /> <br /> <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:<h2> --><h2 id="toc2"><a name="Primzahlen und gleichstufige Tonsysteme-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 -->Verweise</h2> <ul><li><a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a></li><li><a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a></li><li>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/prime%20numbers">xenharmonic/prime numbers</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" rel="nofollow">Primzahl – Wikipedia</a></li></ul></body></html>