Primfaktorzerlegung
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Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.
==Grundlage==
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.
[[math]]
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
[[math]]
[[math]]
1001 = 7 \times 11 \times 13
[[math]]
Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:
7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist
[[math]]
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
[[math]]
==Verallgemeinerung==
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.
[[math]]
9/8 = 3^2 \times 2^-3
[[math]]
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:
Aus
[[math]]
3^2 \times 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung
[[math]]
2^{-3} \times 3^2
[[math]]
==Notations- und Rechenhilfe==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).
Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
Quinte = 3/2 = |-1 1>
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1>
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1>
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1>
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12>
Prime = 1 = |>
==Verweise==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.comOriginal HTML content:
<html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:<h2> --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2>
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />
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<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]<br/>
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]<br/>
1001 = 7 \times 11 \times 13<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">1001 = 7 \times 11 \times 13</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br />
<br />
7 = 7<br />
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.<br />
<br />
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br />
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Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]<br/>
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:<h2> --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br />
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<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]<br/>
9/8 = 3^2 \times 2^-3<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \times 2^-3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />
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Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br />
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Aus <br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]<br/>
3^2 \times 2^{-3}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex"> 3^2 \times 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
wird nach dem Sortieren die Darstellung <br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]<br/>
2^{-3} \times 3^2<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">2^{-3} \times 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:<h2> --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
<br />
Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br />
<br />
Quinte = 3/2 = |-1 1><br />
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1><br />
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1><br />
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1><br />
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12><br />
Prime = 1 = |><br />
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:<h2> --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html>