Intervallraum
IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:
- This revision was by author xenwolf and made on 2013-04-29 10:31:56 UTC.
- The original revision id was 427335154.
- The revision comment was: erneuter Anlauf - etwas besser, finde ich, aber immer noch zu kompliziert.
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.
Original Wikitext content:
English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert.
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche [[Primfaktorzerlegung|Primzahlfaktoren]] typischerweise in Potenzschreibweise zusammengefasst werden:
[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]
wobei die Exponenten e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">2</span>, e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">3</span> usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.
Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]
Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.Original HTML content:
<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">Rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; sie werden üblicherweise als Bruch notiert. <br />
<br />
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> betrachtet werden, wobei gleiche <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primzahlfaktoren</a> typischerweise in Potenzschreibweise zusammengefasst werden:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]<br/>
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
wobei die Exponenten e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">2</span>, e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">3</span> usw. <a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl">ganze Zahlen</a> sind.<br />
<br />
Ein Beispiel:<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]<br/>
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]<br/>
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>" verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
<br />
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</body></html>