Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen
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Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen. | Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen. | ||
36 = 2 | [[math]] | ||
1001 = 7 | 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 | ||
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1001 = 7 \times 11 \times 13 | |||
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Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach: | Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach: | ||
7 = 7 | 7 = 7 | ||
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. | ...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte. | ||
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. | Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. | ||
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Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist | Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist | ||
256 = 2 | [[math]] | ||
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8 | |||
[[math]] | |||
==Verallgemeinerung== | ==Verallgemeinerung== | ||
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten. | Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten. | ||
9/8 = 3 | [[math]] | ||
9/8 = 3^2 \times 2^-3 | |||
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Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig: | Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig: | ||
Aus 3 | Aus | ||
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3^2 \times 2^{-3} | |||
[[math]] | |||
wird nach dem Sortieren die Darstellung | |||
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==Notations- und Rechenhilfe== | ==Notations- und Rechenhilfe== | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2> | ||
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br /> | Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br /> | ||
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36 = 2 | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:0: | ||
1001 = 7 | [[math]]&lt;br/&gt; | ||
36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br /> | |||
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[[math]]&lt;br/&gt; | |||
1001 = 7 \times 11 \times 13&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">1001 = 7 \times 11 \times 13</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br /> | |||
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Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br /> | Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br /> | ||
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7 = 7<br /> | 7 = 7<br /> | ||
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.<br /> | ...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.<br /> | ||
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Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br /> | Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br /> | ||
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Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br /> | Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br /> | ||
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256 = 2 | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:2: | ||
[[math]]&lt;br/&gt; | |||
256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br /> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2> | ||
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br /> | Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3: | |||
[[math]]&lt;br/&gt; | |||
9/8 = 3^2 \times 2^-3&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \times 2^-3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br /> | |||
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Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br /> | Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br /> | ||
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Aus | Aus <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4: | |||
[[math]]&lt;br/&gt; | |||
3^2 \times 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex"> 3^2 \times 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br /> | |||
wird nach dem Sortieren die Darstellung <br /> | |||
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5: | |||
[[math]]&lt;br/&gt; | |||
2^{-3} \times 3^2&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">2^{-3} \times 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br /> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2> | ||
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2> | ||
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | ||