Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 6. Juni 2013, 10:41 Uhr

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The original revision id was 436728898.

The revision comment was: \times durch \cdot ersetzt, sieht hübscher aus

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Original Wikitext content:

Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]

[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
wird nach dem Sortieren die Darstellung
[[math]]
2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1>
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1>
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1>
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1>
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12>
Prime = 1 = |0> (oder |>)


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com

Original HTML content:

<html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2>
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&lt;br/&gt;
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br />
<br />
7 = 7<br />
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.<br />
<br />
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br />
<br />
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&lt;br/&gt;
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]&lt;br/&gt;
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />
<br />
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br />
<br />
Aus<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]&lt;br/&gt;
3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
wird nach dem Sortieren die Darstellung<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]&lt;br/&gt;
2^{-3} \cdot 3^2&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
<br />
Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br />
<br />
Quinte = 3/2 = |-1 1&gt;<br />
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;<br />
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;<br />
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&gt;<br />
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;<br />
Prime = 1 = |0&gt; (oder |&gt;)<br />
<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>
 <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html>

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 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
 This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
-: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on <tt>2013-06-06 10:33:15 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-06 10:41:57 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>436726858</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>436728898</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt></tt><br>
+: The revision comment was: <tt>\times durch \cdot ersetzt, sieht hübscher aus</tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
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 [[math]]
-= 2 \times 2 \times 3 \times 3
+= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
 [[math]]
 [[math]]
-= 7 \times 11 \times 13
+= 7 \cdot 11 \cdot 13
 [[math]]
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 [[math]]
-= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8
+= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
 [[math]]
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 [[math]]
-/8 = 3^2 \times 2^{-3}
+/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
 [[math]]
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 Aus
 [[math]]
-^2 \times 2^{-3}
+^2 \cdot 2^{-3}
 [[math]]
 wird nach dem Sortieren die Darstellung
 [[math]]
-^{-3} \times 3^2
+^{-3} \cdot 3^2
 [[math]]
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 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
 [[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-= 2 \times 2 \times 3 \times 3&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
+= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
-  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&gt;&lt;br /&gt;
+  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
 [[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-= 7 \times 11 \times 13&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
+= 7 \cdot 11 \cdot 13&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
-  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;1001 = 7 \times 11 \times 13&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
+  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Für &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:&lt;br /&gt;
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 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
 [[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
+= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
-  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;
+  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
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 &lt;br /&gt;
 Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:&lt;br /&gt;
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 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
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-  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;2^{-3} \times 3^2&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&gt;&lt;br /&gt;
+  --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;2^{-3} \cdot 3^2&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
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Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Juni 2013, 10:41 Uhr

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Original Wikitext content:

Original HTML content:

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