Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen
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Wikispaces>xenwolf **Imported revision 436733438 - Original comment: hie und da etwas geglättet** |
Wikispaces>xenwolf **Imported revision 436735066 - Original comment: Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle** |
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Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen): | Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen): | ||
||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo || | |||
Quinte | || Reine Quinte || 3/2 || |-1 1> || | ||
Große Terz | || Große Terz || 5/4 || |-2 0 1> || | ||
Große Sexte | || Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1> || | ||
Syntonisches Komma | || Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1> || | ||
Pythagoreisches Komma | || Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12> || | ||
Prime | || Prime || 1 || |0> oder |> || | ||
==Verweise== | ==Verweise== | ||
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Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br /> | Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br /> | ||
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Quinte | |||
Große Terz | <table class="wiki_table"> | ||
Große Sexte | <tr> | ||
Syntonisches Komma | <th>Name des Intervalls<br /> | ||
Pythagoreisches Komma | </th> | ||
Prime | <th>Bruch<br /> | ||
</th> | |||
<th>Monzo<br /> | |||
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</tr> | |||
<tr> | |||
<td>Reine Quinte<br /> | |||
</td> | |||
<td>3/2<br /> | |||
</td> | |||
<td>|-1 1&gt;<br /> | |||
</td> | |||
</tr> | |||
<tr> | |||
<td>Große Terz<br /> | |||
</td> | |||
<td>5/4<br /> | |||
</td> | |||
<td>|-2 0 1&gt;<br /> | |||
</td> | |||
</tr> | |||
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<td>Große Sexte<br /> | |||
</td> | |||
<td>5/3<br /> | |||
</td> | |||
<td>|0 -1 1&gt;<br /> | |||
</td> | |||
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<td>Syntonisches Komma<br /> | |||
</td> | |||
<td>81/80<br /> | |||
</td> | |||
<td>|-4 4 -1&gt;<br /> | |||
</td> | |||
</tr> | |||
<tr> | |||
<td>Pythagoreisches Komma<br /> | |||
</td> | |||
<td>531441/524288<br /> | |||
</td> | |||
<td>|-19 12&gt;<br /> | |||
</td> | |||
</tr> | |||
<tr> | |||
<td>Prime<br /> | |||
</td> | |||
<td>1<br /> | |||
</td> | |||
<td>|0&gt; oder |&gt;<br /> | |||
</td> | |||
</tr> | |||
</table> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2> | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2> | ||
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | ||
Version vom 6. Juni 2013, 11:07 Uhr
IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:
- This revision was by author xenwolf and made on 2013-06-06 11:07:27 UTC.
- The original revision id was 436735066.
- The revision comment was: Beispiele zur Monzo-Notation in Tabelle
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.
Original Wikitext content:
Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.
==Grundlage==
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.
[[math]]
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
[[math]]
[[math]]
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13
[[math]]
Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:
7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist
[[math]]
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8
[[math]]
==Verallgemeinerung==
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.
[[math]]
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem
[[math]]
3^2 \cdot 2^{-3}
[[math]]
nach dem Sortieren diese Darstellung
[[math]]
2^{-3} \cdot 3^2
[[math]]
==Notations- und Rechenhilfe==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).
Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):
||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo ||
|| Reine Quinte || 3/2 || |-1 1> ||
|| Große Terz || 5/4 || |-2 0 1> ||
|| Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1> ||
|| Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1> ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12> ||
|| Prime || 1 || |0> oder |> ||
==Verweise==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.comOriginal HTML content:
<html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:<h2> --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2>
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]<br/>
36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]<br/>
1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br />
<br />
7 = 7<br />
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln. Neben dem geschickten Ausprobieren, ob die Division durch kleine Primzahlen (2, 3, 5, 7...) ohne Rest aufgeht, gibt es eine Reihe schnellerer Verfahren, jedoch keines, dessen Aufwand nicht doch irgendwie abschreckend wirken würde: der Zeitbedarf für wirklich große Primzahlen wächst bei ihnen allen derart rasant, dass man es ab einer gewissen Größe lieber gar nicht erst versuchen sollte.<br />
<br />
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br />
<br />
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]<br/>
256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:<h2> --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2>
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten.<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:3:
[[math]]<br/>
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br />
<br />
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig. So wird aus obigem <br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4:
[[math]]<br/>
3^2 \cdot 2^{-3}<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br />
nach dem Sortieren diese Darstellung<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5:
[[math]]<br/>
2^{-3} \cdot 3^2<br/>[[math]]
--><script type="math/tex">2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:<h2> --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
<br />
Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br />
<table class="wiki_table">
<tr>
<th>Name des Intervalls<br />
</th>
<th>Bruch<br />
</th>
<th>Monzo<br />
</th>
</tr>
<tr>
<td>Reine Quinte<br />
</td>
<td>3/2<br />
</td>
<td>|-1 1><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td>Große Terz<br />
</td>
<td>5/4<br />
</td>
<td>|-2 0 1><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td>Große Sexte<br />
</td>
<td>5/3<br />
</td>
<td>|0 -1 1><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td>Syntonisches Komma<br />
</td>
<td>81/80<br />
</td>
<td>|-4 4 -1><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td>Pythagoreisches Komma<br />
</td>
<td>531441/524288<br />
</td>
<td>|-19 12><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td>Prime<br />
</td>
<td>1<br />
</td>
<td>|0> oder |><br />
</td>
</tr>
</table>
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:<h2> --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Verweise</h2>
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html>