Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 24. April 2013, 19:36 Uhr

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The revision comment was: Kleine Korrektur: Das Vogelsche Tonnetz unterscheidet auch keine Oktaven ;)

The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.

Original Wikitext content:

English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Original HTML content:

<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Eine natürliche Darstellung von Intervallen in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.<br />
<br />
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
wobei die Exponenten e_2, e_3 ff. positive oder negative ganze Zahlen sind.<br />
<br />
Ein Beispiel:<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&lt;br/&gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&lt;br/&gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &quot;<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>&quot; verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
<br />
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</body></html>

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 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
 This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-24 01:51:14 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:Gedankenwelt|Gedankenwelt]] and made on <tt>2013-04-24 19:36:06 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>425921782</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>426195822</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt>Versuch mit einfacheren Worten zu beginnen, Beispiel ergänzt</tt><br>
+: The revision comment was: <tt>Kleine Korrektur: Das Vogelsche Tonnetz unterscheidet auch keine Oktaven ;)</tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
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 Eine natürliche Darstellung von Intervallen in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.
-Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:
+Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:
 [[math]]
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 Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
-Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]].
+Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.
-Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.</pre></div>
+Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</pre></div>
 <h4>Original HTML content:</h4>
 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Intervallraum&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;English: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&gt;Monzos and Interval Space&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
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 Eine natürliche Darstellung von Intervallen in &lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&gt;reiner Stimmung&lt;/a&gt; (also solchen mit rationalem Frequenzverhältnis) ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Qoutient von &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&lt;br /&gt;
+Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; betrachtet werden, wobei gleiche Primzahlfaktoren typischerweise als Potenzen geschrieben werden:&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 &lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
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 Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&gt; Z-Modul&lt;/a&gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&gt;Eulermodul&lt;/a&gt; bezeichnet.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Raum, das &lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&gt;Vogelsche Tonnetz&lt;/a&gt;.&lt;br /&gt;
+Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Manchmal wird die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&gt;Eulersche Tonnetz&lt;/a&gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>
+Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&gt;Eulersche Tonnetz&lt;/a&gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&gt;Vogelsche Tonnetz&lt;/a&gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>

Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

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