Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

← Zum vorherigen Versionsunterschied Zum nächsten Versionsunterschied →

Version vom 29. April 2013, 03:28 Uhr

IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES

This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:

This revision was by author xenwolf and made on 2013-04-29 03:28:41 UTC.

The original revision id was 427241680.

The revision comment was:

The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.

Original Wikitext content:

English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] besitzen [[Rationale Zahl|rationalem]] Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. 

Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von [[Primzahlen]] betrachtet werden, wobei gleiche [[Primfaktorzerlegung|Primzahlfaktoren]] typischerweise als Potenzen geschrieben werden:

[[math]]
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
[[math]]

wobei die Exponenten e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">2</span>, e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">3</span> usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.

Ein Beispiel:
[[math]]
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
[[math]]

Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:

[[math]]
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
[[math]]

Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Original HTML content:

<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> besitzen <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationalem</a> Frequenzverhältnisse und werden üblicherweise als Bruch notiert. <br />
<br />
Jede rationale Zahl q kann als Produkt bzw. Quotient von <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> betrachtet werden, wobei gleiche <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primzahlfaktoren</a> typischerweise als Potenzen geschrieben werden:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
[[math]]&lt;br/&gt;
q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --><br />
<br />
wobei die Exponenten e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">2</span>, e<span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;">3</span> usw. <a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl">ganze Zahlen</a> sind.<br />
<br />
Ein Beispiel:<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
[[math]]&lt;br/&gt;
\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --><br />
<br />
Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">ket vector</a>-Notation:<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
[[math]]&lt;br/&gt;
|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;br/&gt;[[math]]
 --><script type="math/tex">|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br />
<br />
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home">englischen Xenharmonic Wiki</a> wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &quot;<a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>&quot; verwendet (benannt nach <a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo">Joe Monzo</a>).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
<br />
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</body></html>

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
 This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br>
-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-29 02:49:05 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-29 03:28:41 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>427236488</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>427241680</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt>Versuch, den Einstieg verständlicher zu gestalten</tt><br>
+: The revision comment was: <tt></tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.
-Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</pre></div>
+Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</pre></div>
 <h4>Original HTML content:</h4>
 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Intervallraum&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;English: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&gt;Monzos and Interval Space&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo Oktave betrachtet. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&gt;Eulersche Tonnetz&lt;/a&gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&gt;Vogelsche Tonnetz&lt;/a&gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>
+Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo &lt;a class="wiki_link" href="/Oktave"&gt;Oktave&lt;/a&gt; betrachtet. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz"&gt;Eulersche Tonnetz&lt;/a&gt; ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das &lt;a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz"&gt;Vogelsche Tonnetz&lt;/a&gt; ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>

Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 29. April 2013, 03:28 Uhr

IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES

Original Wikitext content:

Original HTML content:

Navigationsmenü

Suche