Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

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Original Wikitext content:

English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]

Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).

Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.

Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.

Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo [[Oktave]] betrachtet. Das [[Eulersches Tonneetz|Eulersche Tonnetz]] ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das [[Vogelsches Tonnetz|Vogelsche Tonnetz]] ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.

Original HTML content:

<html><head><title>Intervallraum</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space">Monzos and Interval Space</a><br />
<br />
Intervalle in <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung">reiner Stimmung</a> zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als <a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl">rationale Zahl</a> ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Produkt von Primzahlen</a> betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).<br />
<br />
Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,<a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"> Z-Modul</a>), ist dreidimensional und wird manchmal als <a class="wiki_link" href="/Eulermodul">Eulermodul</a> bezeichnet.<br />
<br />
Einbezug der nächsten Primzahl 7 ergibt einen vierdimensionalen Intervallraum, und mit jeder weiteren Primzahl kommt eine zusätzliche Dimension hinzu, was die Darstellbarkeit erschwert.<br />
<br />
Deshalb wird bei graphischen Darstellungen schon mal die Primzahl 2 weggelassen, d.h. die Intervalle werden modulo <a class="wiki_link" href="/Oktave">Oktave</a> betrachtet. Das <a class="wiki_link" href="/Eulersches%20Tonneetz">Eulersche Tonnetz</a> ist im Prinzip der Eulermodul modulo Oktave. Das <a class="wiki_link" href="/Vogelsches%20Tonnetz">Vogelsche Tonnetz</a> ist dessen Erweiterung um den Primfaktor 7, oder der oben beschriebene vierdimensionale Intervallraum modulo Oktave.</body></html>

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-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-04-30 03:01:55 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-05 03:04:29 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>427583792</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>436426092</tt>.<br>
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 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">English: [[xenharmonic/Monzos and Interval Space|Monzos and Interval Space]]
-Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren.
+Intervalle in [[Reine Stimmung|reiner Stimmung]] zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als [[Rationale Zahl|rationale Zahl]] ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als [[Primfaktorzerlegung|Produkt von Primzahlen]] betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).
-Jede rationale Zahl q wiederum kann als Produkt (bzw. Quotient) von [[Primzahlen]] betrachtet werden (-&gt; [[Primfaktorzerlegung]]), dabei fasst man gleiche Primzahlfaktoren durch Potenzschreibweise zusammen:
-[[math]]
-q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}
-[[math]]
-wobei die Exponenten e&lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;, e&lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&gt;3&lt;/span&gt; usw. [[Ganze Zahl|ganze Zahlen]] sind.
-Ein Beispiel:
-[[math]]
-\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}
-[[math]]
-Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|ket vector]]-Notation:
-[[math]]
-|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle
-[[math]]
-Im [[xenharmonic/home|englischen Xenharmonic Wiki]] wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung "[[Monzo]]" verwendet (benannt nach [[Joe Monzo]]).
 Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen [[Primzahlen]] bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,[[http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29| Z-Modul]]), ist dreidimensional und wird manchmal als [[Eulermodul]] bezeichnet.
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 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Intervallraum&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;English: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Monzos%20and%20Interval%20Space"&gt;Monzos and Interval Space&lt;/a&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Intervalle in &lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&gt;reiner Stimmung&lt;/a&gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&gt;rationale Zahl&lt;/a&gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. &lt;br /&gt;
+Intervalle in &lt;a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmung"&gt;reiner Stimmung&lt;/a&gt; zeichnen sich dadurch aus, dass die Frequenzen der beteiligten Töne als &lt;a class="wiki_link" href="/Rationale%20Zahl"&gt;rationale Zahl&lt;/a&gt; ausgedrückt werden können; d.h. man kann sie als Bruch notieren. Jede rationale Zahl q wiederum kann als &lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&gt;Produkt von Primzahlen&lt;/a&gt; betrachtet werden (wobei die Faktoren auch unter dem Bruchstich stehen können).&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-Jede rationale Zahl q wiederum kann als Produkt (bzw. Quotient) von &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; betrachtet werden (-&amp;gt; &lt;a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung"&gt;Primfaktorzerlegung&lt;/a&gt;), dabei fasst man gleiche Primzahlfaktoren durch Potenzschreibweise zusammen:&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:0:
-[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
- --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotso p^{e_p}&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:0 --&gt;&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-wobei die Exponenten e&lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&gt;2&lt;/span&gt;, e&lt;span style="font-size: 80%;vertical-align: sub;"&gt;3&lt;/span&gt; usw. &lt;a class="wiki_link" href="/Ganze%20Zahl"&gt;ganze Zahlen&lt;/a&gt; sind.&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-Ein Beispiel:&lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:1:
-[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
- --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;\frac {16}{15} = \frac {2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 5} = 2^{4} \, 3^{-1} \, 5^{-1}&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:1 --&gt;&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-Dies kann auch als Vektor geschrieben werden, z.B. in &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow"&gt;ket vector&lt;/a&gt;-Notation:&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextMathRule:2:
-[[math]]&amp;lt;br/&amp;gt;
-|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&amp;lt;br/&amp;gt;[[math]]
- --&gt;&lt;script type="math/tex"&gt;|e_2 \, e_3 \, e_5 \dotso e_p\rangle&lt;/script&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --&gt;&lt;br /&gt;
-&lt;br /&gt;
-Im &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/home"&gt;englischen Xenharmonic Wiki&lt;/a&gt; wird für Intervallvektoren dieser Art häufig die Bezeichnung &amp;quot;&lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&gt;Monzo&lt;/a&gt;&amp;quot; verwendet (benannt nach &lt;a class="wiki_link" href="/Joe%20Monzo"&gt;Joe Monzo&lt;/a&gt;).&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Für die in der abendländischen Musik traditionell verwendeten Intervalle kommen &lt;a class="wiki_link" href="/Primzahlen"&gt;Primzahlen&lt;/a&gt; bis 5 vor, der entsprechende Vektorraum (bzw. streng mathematisch,&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Modul_%28Mathematik%29" rel="nofollow"&gt; Z-Modul&lt;/a&gt;), ist dreidimensional und wird manchmal als &lt;a class="wiki_link" href="/Eulermodul"&gt;Eulermodul&lt;/a&gt; bezeichnet.&lt;br /&gt;

Intervallraum: Unterschied zwischen den Versionen

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