Verallgemeinerte reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
Wikispaces>hstraub **Imported revision 604674527 - Original comment: ** |
Wikispaces>hstraub **Imported revision 606454465 - Original comment: ** |
||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
<h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2> | <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2> | ||
This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br> | This is an imported revision from Wikispaces. The revision metadata is included below for reference:<br> | ||
: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on <tt>2017- | : This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on <tt>2017-02-16 12:01:05 UTC</tt>.<br> | ||
: The original revision id was <tt> | : The original revision id was <tt>606454465</tt>.<br> | ||
: The revision comment was: <tt></tt><br> | : The revision comment was: <tt></tt><br> | ||
The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br> | The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br> | ||
| Zeile 49: | Zeile 49: | ||
<log2(2), log2(3), log2(5),...| | <log2(2), log2(3), log2(5),...| | ||
bzw., in Dezimalzahlen: | |||
<1, 1.58496, 2.32193,...| | |||
Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung. | Dieser Val beschreibt die untemperierte, "reine" Stimmung. | ||
| Zeile 56: | Zeile 60: | ||
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung. | Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im [[https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)|Kern]] der Val-Abbildung. | ||
[Todo | Als Beispiel diene einmal mehr das syntonische Komma 81/80, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1> . Für den Val <x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten: | ||
<x1, x2, x3 ||-4, 4, -1> = 0 | |||
also | |||
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0 | |||
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr "musikalisch sinnvoll" sien werden. Eine für praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also | |||
<x1, x2, x3 ||1, 0, 0> = log2(2) = 1 | |||
woraus folgt: | |||
x1 = 1 | |||
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich | |||
4*x2 -x3 - 4 = 0 | |||
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen ([[xenharmonie/Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[xenharmonie/Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[xenharmonie/Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[xenharmonie/Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[xenharmonie/Lucy-Stimmung|Lucy-Stimmung]] , und streng mathematisch auch die rein [[xenharmonie/pythagoräisch|pythagoräische]] Stimmung sowie [[xenharmonie/Superpyth|superpythagoräische]] Systeme) stehen. Durhc Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - Beispielsweise die [[viertelkomma-mitteltönig|Viertelkomma-mitteltönige]] Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung <x1, x2, x3 ||-2, 0, 1> = log2(5/4) ergibt. | |||
[Todo normierte Val-Listen ] | |||
=Charakterisierung über "Wedgie"= | =Charakterisierung über "Wedgie"= | ||
| Zeile 90: | Zeile 116: | ||
Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: <a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow">Tuning continua and keyboard layouts</a>, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.<br /> | Andrew Milne, William Sethares, James Plamondon: <a class="wiki_link_ext" href="http://www.cae.wisc.edu/~sethares/TuningContinua.pdf" rel="nofollow">Tuning continua and keyboard layouts</a>, Journal of Mathematics and Music vol. 2 issue 1, 2008.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextTocRule: | <!-- ws:start:WikiTextTocRule:15:&lt;img id=&quot;wikitext@@toc@@flat&quot; class=&quot;WikiMedia WikiMediaTocFlat&quot; title=&quot;Table of Contents&quot; src=&quot;/site/embedthumbnail/toc/flat?w=100&amp;h=16&quot;/&gt; --><!-- ws:end:WikiTextTocRule:15 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:16: --><a href="#Charakterisierung über Kommas">Charakterisierung über Kommas</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:16 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:17: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;vals&quot;">Charakterisierung über &quot;vals&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:17 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:18: --> | <a href="#log2(2)"> log2(2) </a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:18 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:19: --> | <a href="#Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;">Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:19 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:20: --> | <a href="#Höherdimensionale Temperaturen">Höherdimensionale Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:20 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:21: --> | <a href="#Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen">Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:21 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:22: --> | <a href="#Nichtoktavische Temperaturen">Nichtoktavische Temperaturen</a><!-- ws:end:WikiTextTocRule:22 --><!-- ws:start:WikiTextTocRule:23: --> | ||
<!-- ws:end:WikiTextTocRule: | <!-- ws:end:WikiTextTocRule:23 --><hr /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Charakterisierung über Kommas"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 -->Charakterisierung über Kommas</h1> | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:1:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Charakterisierung über Kommas"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:1 -->Charakterisierung über Kommas</h1> | ||
Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br /> | Im <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Intervallraum">Intervallraum</a> erscheinen rationale Intervalle gemäss ihrer <a class="wiki_link" href="/Primfaktorzerlegung">Primfaktorzerlegung</a> als Vektoren, so auch das syntonische Komma.<br /> | ||
| Zeile 121: | Zeile 147: | ||
<br /> | <br /> | ||
&lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|<br /> | &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...|<br /> | ||
<br /> | |||
bzw., in Dezimalzahlen:<br /> | |||
<br /> | |||
&lt;1, 1.58496, 2.32193,...|<br /> | |||
<br /> | <br /> | ||
Dieser Val beschreibt die untemperierte, &quot;reine&quot; Stimmung.<br /> | Dieser Val beschreibt die untemperierte, &quot;reine&quot; Stimmung.<br /> | ||
| Zeile 128: | Zeile 158: | ||
Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im <a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow">Kern</a> der Val-Abbildung.<br /> | Der Prozess des Austemperierens eines Kommas stellt sich in Val-Sprache so dar, dass der Intervallvektor des Kommas vom Val auf 0 abgebildet wird - d. h. das Komma befindet sich im <a class="wiki_link_ext" href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra)" rel="nofollow">Kern</a> der Val-Abbildung.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
[Todo | Als Beispiel diene einmal mehr das syntonische Komma 81/80, mit KET-Vektordarstellung |-4, 4, -1&gt; . Für den Val &lt;x1, x2, x3 | einer temperierten Stimmung, die dieses Komma austemperiert, muss dann gelten:<br /> | ||
<br /> | |||
&lt;x1, x2, x3 ||-4, 4, -1&gt; = 0<br /> | |||
<br /> | |||
also<br /> | |||
<br /> | |||
-4*x1 +4*x2 -x3 = 0<br /> | |||
<br /> | |||
Dies ist noch eine ziemlich allgemeine Bedingung mit einer grossen Zahl von Lösungen, von denen viele nicht sehr &quot;musikalisch sinnvoll&quot; sien werden. Eine für praktische Zwecke ziemlich sinnvolle Zusatzbedingung ist, dass das Intervall der Oktave rein sein soll, also<br /> | |||
<br /> | |||
&lt;x1, x2, x3 ||1, 0, 0&gt; <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc2"><a name="log2(2)"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 --> log2(2) </h1> | |||
1<br /> | |||
<br /> | |||
woraus folgt:<br /> | |||
<br /> | |||
x1 = 1<br /> | |||
<br /> | |||
In der obigen Gleicihung eingesetzt ergibt sich<br /> | |||
<br /> | |||
4*x2 -x3 - 4 = 0<br /> | |||
<br /> | |||
Dies ist immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten und mehreren Lösungen, wleche für die verschiedenen möglichen mitteltönigen Temperaturen (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/3-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">1/4-</a>, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig">1/6-</a> oder <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig">2/7-</a>Komma mitteltönigen Stimmung, <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Lucy-Stimmung">Lucy-Stimmung</a> , und streng mathematisch auch die rein <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/pythagor%C3%A4isch">pythagoräische</a> Stimmung sowie <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Superpyth">superpythagoräische</a> Systeme) stehen. Durhc Hinzufügen einer weiteren Bedingung erhält man dann ein System von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten und einer eindeutigen Lösung - Beispielsweise die <a class="wiki_link" href="/viertelkomma-mittelt%C3%B6nig">Viertelkomma-mitteltönige</a> Stimmung durch die Bedingung, dass die grosse Terz 5/4 ebenfalls rein intoniert werden soll, was die Gleichung &lt;x1, x2, x3 ||-2, 0, 1&gt; = log2(5/4) ergibt.<br /> | |||
<br /> | |||
[Todo normierte Val-Listen ]<br /> | |||
<br /> | <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Charakterisierung über &quot;Wedgie&quot;</h1> | ||
[Todo]<br /> | [Todo]<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
<a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a><br /> | <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Wedgies%20and%20Multivals" target="_blank">englischsprachiger Artikel</a><br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc4"><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 --><!-- ws:start:WikiTextAnchorRule:24:&lt;img src=&quot;/i/anchor.gif&quot; class=&quot;WikiAnchor&quot; alt=&quot;Anchor&quot; id=&quot;wikitext@@anchor@@Höherdimensionale Temperaturen&quot; title=&quot;Anchor: Höherdimensionale Temperaturen&quot;/&gt; --><a name="Höherdimensionale Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextAnchorRule:24 -->Höherdimensionale Temperaturen</h1> | ||
Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br /> | Der Intervallraum aus den Primzahlen bis 5 ist dreidimensional, darauf definierte verallgemeinerte Temperaturen in der Regel zweidimensional, mit den Achsen Periode und Generator. Doch wenn man zusätzliche Primzahlen mit einbezieht - die 7 (Naturseptime), die 11 (Alphorn-Fa) oder gar noch mehr - kann auch der Quotientenmodul mehr als 2 Dimensionen haben. Eine solche Temperatur kann nicht mit einem Generator und einem Periodenintervall beschrieben werden; man benötigt dann mehrere Generatoren. Das kann man natürlich machen (mathematisch sowieso). Eine einfache Intervallstruktur wie MOS-Skalen gibt es bei solchen Systemen nicht, doch bieten auch sie eine Reduktion der Komplexität im Vergleich zum (höherdimensionalen) vollen Intervallraum.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| Zeile 142: | Zeile 195: | ||
Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS</a>-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.<br /> | Aus höherdimensionalen Intervallräumen kann man natürlich auch zweidimensionale Temperaturen mit einem Generator und <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS</a>-Struktur erhalten, indem man mehrere Kommas austemperiert. <a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/Pajara">Pajara</a> ist ein Beispiel im vierdimensionalen 2-3-5-7-Intervallraum.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc5"><a name="Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Niedrigdimensionale Temperaturen, gleichstufige Temperaturen</h1> | ||
Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufige</a> Temperatur.<br /> | Mehrere Kommas austemperieren kann man selbstverständlich auch im dreidimensionalen Intervallraum. Das resultierende Tonsystem hat dann unter Umständen wieder eine Dimension weniger, es wird also z.B. eindimensional. Das bedeutet, dass sämtliche Töne ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen kleinsten Einheit sind - mit anderen Worten, wir haben dann eine <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufige</a> Temperatur.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| Zeile 149: | Zeile 202: | ||
Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.<br /> | Analog kann man auch von Anfang an in einem Intervallraum niedrigerer Dimension beginnen, also etwa dem zweidimensionalen zu den Primzahlen 2 und 3 (dem pythagoräischen Intervallraum). Da das pythagoräische Komma nur die Primzahlen 2 und 3 enthält, kann man es auch auf diesem austemperieren, und das Resultat wird wieder 12edo sein.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc6"><a name="Nichtoktavische Temperaturen"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 -->Nichtoktavische Temperaturen</h1> | ||
[to do]</body></html></pre></div> | [to do]</body></html></pre></div> | ||