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Reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen

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Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also  
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also


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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen ]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.


Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.


==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen==  
==Verallgemeinerte reguläre Temperaturen==  
XXX Alter Artikel
Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]]) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den
 
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc.
Der Begriff //reguläre Temperatur// (im Englischen: [[@xenharmonic/Regular Temperaments|regular temperament]]) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:
* eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung
* eine [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur|verallgemeinerte reguläre Temperatur]] (englisch: [[@xenharmonic/abstract regular temperament|abstract regular temperament]])
 
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine [[Reguläre Stimmung|reguläre Stimmung]], deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem [[Rang]] interpretiert werden.
 
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der [[Drittelkomma-mitteltönig|1/3-]], [[Viertelkomma-mitteltönig|1/4-]], [[Sechstelkoma-mitteltönig|1/6-]] oder [[Zweisiebtel-Komma-mitteltönig|2/7-]]Komma mitteltönigen Stimmung, [[Lucy-Stimmung]] etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.


==Mehrere Generatoren==  
==Mehrere Generatoren==  
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&lt;br /&gt;
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Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&lt;br /&gt;
Rationale Intervalle erscheinen dort ja gemäss ihrer Primfaktorzerlegung als Vektoren, so auch das syntonische Komma.&lt;br /&gt;
Dessen Frequenzverhältnis ist 81/80, also &lt;br /&gt;
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&gt;Äquivalenzklassen &lt;/a&gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&gt;Quotientenmoduls&lt;/a&gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vomsyntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&lt;br /&gt;
Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow"&gt;Äquivalenzklassen&lt;/a&gt; zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines &lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow"&gt;Quotientenmoduls&lt;/a&gt;: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma (-4, 4, -1) generierten Submoduls betrachtet.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&lt;br /&gt;
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönmigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc4"&gt;&lt;a name="Mathematische Betrachtung-Verallgemeinerte reguläre Temperaturen"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 --&gt;Verallgemeinerte reguläre Temperaturen&lt;/h2&gt;
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  XXX Alter Artikel&lt;br /&gt;
  Die im vorigen Kapitel beschriebene Äquivalenzrelation definiert, welche Intervalle nicht unterschieden werden, sagt aber per se noch nichts über die konkreten Intervallgrössen aus. Eine solcherart gewissermassen abstrakt definierte Temperatur kann man &lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&lt;/a&gt; (englisch: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&gt;abstract regular temperament&lt;/a&gt;) nennen. Die verallgemeinerte mitteltönige Temperatur bildet den&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
emeinsamen Rahmen für die verschiedenen (konkreten) mitteltönig temperierten Stimmungen, wie der &lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/3-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/4-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/6-&lt;/a&gt; oder &lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&gt;2/7-&lt;/a&gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&gt;Lucy-Stimmung&lt;/a&gt; etc.&lt;br /&gt;
Der Begriff &lt;em&gt;reguläre Temperatur&lt;/em&gt; (im Englischen: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular%20Temperaments" target="_blank"&gt;regular temperament&lt;/a&gt;) kann sich auf folgende Konzepte beziehen:&lt;br /&gt;
&lt;ul&gt;&lt;li&gt;eine (konkrete) regulär temperierte Stimmung&lt;/li&gt;&lt;li&gt;eine &lt;a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur"&gt;verallgemeinerte reguläre Temperatur&lt;/a&gt; (englisch: &lt;a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/abstract%20regular%20temperament" target="_blank"&gt;abstract regular temperament&lt;/a&gt;)&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;br /&gt;
Eine regulär temperierte Stimmung ist eine &lt;a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Stimmung"&gt;reguläre Stimmung&lt;/a&gt;, deren Intervalle im Sinne einer verallgemeinerten regulären Temperatur mit gleichem &lt;a class="wiki_link" href="/Rang"&gt;Rang&lt;/a&gt; interpretiert werden.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
Die mitteltönige Temperatur lässt sich als Klasse von diversen konkreten mitteltönigen Stimmungen wie der &lt;a class="wiki_link" href="/Drittelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/3-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="/Viertelkomma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/4-&lt;/a&gt;, &lt;a class="wiki_link" href="/Sechstelkoma-mittelt%C3%B6nig"&gt;1/6-&lt;/a&gt; oder &lt;a class="wiki_link" href="/Zweisiebtel-Komma-mittelt%C3%B6nig"&gt;2/7-&lt;/a&gt;Komma mitteltönigen Stimmung, &lt;a class="wiki_link" href="/Lucy-Stimmung"&gt;Lucy-Stimmung&lt;/a&gt; etc. betrachten. Bei diesen handelt es sich um regulär temperierte Stimmungen, da die Größe der Generatoren vorgegeben ist.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc5"&gt;&lt;a name="Mathematische Betrachtung-Mehrere Generatoren"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&gt;Mehrere Generatoren&lt;/h2&gt;
&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:13:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc5"&gt;&lt;a name="Mathematische Betrachtung-Mehrere Generatoren"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:13 --&gt;Mehrere Generatoren&lt;/h2&gt;
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