Reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submoduls betrachtet. | Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in [[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines [[http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul|Quotientenmoduls]]: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1> generierten Submoduls betrachtet. | ||
Jede [[http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20|Basis]] des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll. | |||
Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension. | Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension. | ||
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Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow">Äquivalenzklassen</a> zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow">Quotientenmoduls</a>: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&gt; generierten Submoduls betrachtet.<br /> | Den Vorgang des Austemperierens des Kommas kann man so formulieren, dass gewisse Intervalle, die in reiner Stimmung verschieden sind, nicht unterschieden werden, also etwa die Ganztöne 9/8 und 10/9 oder die Terzen 5/4 und 81/64. Mathematisch gesprochen, werden Intervalle, welche sich um ein Komma unterscheiden, in <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation" rel="nofollow">Äquivalenzklassen</a> zusammengefasst - was gleichbedeutend ist mit der Bildung eines <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenmodul" rel="nofollow">Quotientenmoduls</a>: Es wird der Quotientenmodul des ganzen Intervallraums modulo der vom syntonischen Komma |-4, 4, -1&gt; generierten Submoduls betrachtet.<br /> | ||
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Jede <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Modul%29%20" rel="nofollow">Basis</a> des Quotientenmoduls liefert Kandidaten für Generator und Periode, wobei es, strikt mathematisch gesehen, zunächst einmal irrelevant ist, welches Basiselement als Generator und welches als Periode fungieren soll.<br /> | |||
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Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br /> | Man beachte, dass der 2-3-5-Intervallraum dreidimensional ist, das Tonsystem der mitteltönigen Stimmung hingegen zweidimensional. Der Vorgang des Austemperierens - die Bildung des Quotienten - führt zu einer Reduktion der Dimension.<br /> | ||