Reguläre Temperatur: Unterschied zwischen den Versionen
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||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung || | ||~ Reine Stimmung ||~ Mitteltönige Temperatur ||~ Gleichstufige Stimmung || | ||
|| Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein || | || Alle Intervalle rein || Wichtige Intervalle in nach Wunsch grosser Reinheit || Alle Intervalle (ausser der Oktave bzw. dem Periodenintervall) nur angenähert, manche insbesondere bei kleinen Systemen nicht sehr rein || | ||
|| Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d. | || Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig || Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen || Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen || | ||
Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen. | Andererseits ist etwa bei der heute verbreitetsten gleichstufigen Stimmung [[12edo]] die Approximation der Quinte ebenfalls minim tiefer als die reine, und das Tonsystem zeigt ebenfalls die oben skizzierten mitteltönigen Eigenschaften wie: 4 Quinten führen zu einer grossen Terz, die kleiner ist als die pythagoräische und in zwie gleich grosse Ganztöne teilbar ist. Man kann also 12edo ebenfalls als mitteltöniges System bezeichnen. | ||
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* Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert. | * Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert. | ||
* Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert | * Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert | ||
* Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. | * Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein [[Komma]], das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe [[Verallgemeinerte reguläre Temperatur]].) | ||
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften: | Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften: | ||
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<span style="background-color: #ffffff;">Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span> Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s. | <span style="background-color: #ffffff;">Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span> Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s. | ||
Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, | Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem [[Alphorn-Fa]] ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit "Alphorn-Fa"-Quarte. | ||
Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann. | Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann. | ||
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<td>Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig<br /> | <td>Skalen unregelmässiger Gestalt mit vielen verschiedenen Intervallgrössen, daher beschränkte Transponierbarkeit und Modulationsmöglichkeiten oder aber eine grosse Anzahl Töne notwendig<br /> | ||
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<td>Skalen in MOS-Form (d. | <td>Skalen in MOS-Form (d.h. Basisintervalle in 2 Grössen), gute Möglichkeiten zu Transposition und Modulation bei überschaubarer Gesamtmenge von Tönen<br /> | ||
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<td>Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen<br /> | <td>Tonmaterial absolut gleichmässig, unbeschränkte Transponierbarkeit und beliebige Modulationen möglich, auch bei kleiner Grundmenge an Tönen<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Verallgemeinerung</h1> | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:3:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:3 -->Verallgemeinerung</h1> | ||
Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:<br /> | Die Verallgemeinerung erfolgt auf natürliche Weise. Eine allgemeine reguläre Temperatur wird demgemäss charakterisiert durch folgende Elemente:<br /> | ||
<ul><li>Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &quot;Generator&quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &quot;Periode&quot; (im obigen Fall eine Oktave)</li><li>Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.</li><li>Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert</li><li>Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein <a class="wiki_link" href="/Komma">Komma</a>, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus.</li></ul><br /> | <ul><li>Gegeben ist ein grundlegendes Intervall, &quot;Generator&quot; genannt (im obigen Beispiel eine minim verkleinerte Quinte), sowie ein Intervall namens &quot;Periode&quot; (im obigen Fall eine Oktave)</li><li>Die Töne der Stimmung werden ermittelt durch sukzessives Übereinanderschichten des Generatorintervalls. Wenn man dabei auf einem Intervall landet, dass grösser ist als die Periode, wird es um die Periode wieder verkleinert.</li><li>Dadurch ergibt sich ein Vorrat von Tönen innerhalb eines Periodenintervalls. In jeder Periode (typischerweise Oktave) wird dieser Grundvorrat dann reproduziert</li><li>Das Generatorintervall (und manchmal das Periodenintervall) wird häufig ausgewählt im Hinblick auf ein <a class="wiki_link" href="/Komma">Komma</a>, das austemperiert werden soll. Ein oder mehrere Kommas stehen i.d.R. sogar am Anfang der Definition einer regulären Temperatur, und der Generator ergibt sich daraus. (Zu mehr Details, wie man vom Komma zum Generator kommt, siehe <a class="wiki_link" href="/Verallgemeinerte%20regul%C3%A4re%20Temperatur">Verallgemeinerte reguläre Temperatur</a>.)</li></ul><br /> | ||
Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:<br /> | Aus diesen Definitionen ergeben sich weitere Eigenschaften:<br /> | ||
<ul><li>Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem <a class="wiki_link" href="/Ganzton">Ganzton</a> gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.<br /> | <ul><li>Das Austemperieren von Kommas hat direkte Auswirkungen auf die Beziehungen der Töne und Intervalle einer Temperatur, und je nach dem, welche Kommas austemperiert werden, können diese Auswirkungen recht verschieden sein. Aus dem Austemperieren des syntonischen Kommas 81/80 beispielsweise folgt, dass es keinen Unterschied zwischen kleinem und grossem <a class="wiki_link" href="/Ganzton">Ganzton</a> gibt und dass die grosse Terz in zwei gleich grosse Teile teilbar ist.<br /> | ||
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<span style="background-color: #ffffff;">Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span> Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.<br /> | <span style="background-color: #ffffff;">Die siebentönige MOS-Skala von Porcupine hat die Form 1L 6s, wobei s der kleine Ganzton ist und L das Komplement der kleinen Septime, d.h. ein grosser Ganzton. Grosser und kleiner Ganzton sind bei Porcupine-Systemen in der Regel verschieden.</span> Das Intervall 1L+1s, ein grosser plus ein kleiner Ganzton, muss natürlich der grossen Terz entsprechen; die Quinte als Komplement der Quarte wird in der heptatonischen Porcupine-Skala gebildet aus 1L+3s.<br /> | ||
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Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, | Noch mehr Dinge kann man ableiten: etwa, dass die heptatonische Porcupine-Skala zwei Dur-Modi hat, Lssssss und sLsssss, welche beide aber nicht über eine reine Quarte (3s) verfügen, sondern das etwas höhere Intervall 1L+2s, welches dem <a class="wiki_link" href="/Alphorn-Fa">Alphorn-Fa</a> ähnelt. Die Dur-Skala Lssssss beginnt also mit Approximationen von grossem Ganzton, reiner grosser Terz, Alphorn-Fa und Quinte - eine Approximation der Oberton-Skala (wobei die Güte der Approximation von der konkreten Grösse des Generators abhängt). Ebenso verfügt die heptatonische Porcupine-Skala über 2 Moll-Modi, sssLsss und ssLssss, der erste mit reiner Quarte und symmetrischer Struktur (zwei identische Tetrachorde der Form sss), der zweite mit &quot;Alphorn-Fa&quot;-Quarte.<br /> | ||
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Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.<br /> | Wir erhalten also auf einfache Weise eine Reihe von Eigenschaften und Strukturen, die teils vertraut sind, sich teils aber auch von mitteltönigen Systemen deutlich unterscheiden. Und all dies, das nicht zu vergessen, folgt sozusagen direkt aus der Austemperierung des Porcupine-Kommas. Man ahnt das Potential, das in so einem Komma steckt - es präsentiert sich hier geradezu als Wundertüte, die praktisch von selbst eine Fülle von Skalen und Intervallbeziehungen ausspuckt, welche der Xenharmoniker direkt verwenden kann.<br /> | ||