Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

== Grundlage ==
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

36 = 2*2*3*3
1001 = 7*11*13

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. 

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2<span style="vertical-align: super;">8</span>

== Verallgemeinerung ==
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

9/8 = 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span>

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span> wird nach dem Sortieren die Darstellung 2<span style="vertical-align: super;">-3</span>*3<span style="vertical-align: super;">2</span>

== Notations- und Rechenhilfe ==
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1>
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1>
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1>
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4>
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12>
Prime = 1 = |>


== Verweise ==
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com

Original HTML content:

<html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --> Grundlage </h2>
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />
<br />
36 = 2*2*3*3<br />
1001 = 7*11*13<br />
<br />
Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br />
<br />
7 = 7<br />
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.<br />
<br />
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. <br />
<br />
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br />
<br />
256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2<span style="vertical-align: super;">8</span><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --> Verallgemeinerung </h2>
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br />
<br />
9/8 = 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span><br />
<br />
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br />
<br />
Aus 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span> wird nach dem Sortieren die Darstellung 2<span style="vertical-align: super;">-3</span>*3<span style="vertical-align: super;">2</span><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --> Notations- und Rechenhilfe </h2>
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
<br />
Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br />
<br />
Quinte = 3/2 = |-1 1&gt;<br />
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;<br />
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;<br />
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4&gt;<br />
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;<br />
Prime = 1 = |&gt;<br />
<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --> Verweise </h2>
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html>

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