Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 5. Juni 2013, 06:05 Uhr

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Original Wikitext content:

Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.

==Grundlage== 
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.

36 = 2*2*3*3
1001 = 7*11*13

Für [[Primzahlen]] selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:

7 = 7
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.

Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.

Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist

256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2<span style="vertical-align: super;">8</span>

==Verallgemeinerung== 
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.

9/8 = 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span>

Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:

Aus 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span> wird nach dem Sortieren die Darstellung 2<span style="vertical-align: super;">-3</span>*3<span style="vertical-align: super;">2</span>

==Notations- und Rechenhilfe== 
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).

Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):

Quinte = 3/2 = |-1 1>
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1>
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1>
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1>
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12>
Prime = 1 = |>


==Verweise== 
* [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
* [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
* [[http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php|Primfaktorisierung]] - primzahlen.zeta24.com

Original HTML content:

<html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Grundlage</h2>
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br />
<br />
36 = 2*2*3*3<br />
1001 = 7*11*13<br />
<br />
Für <a class="wiki_link" href="/Primzahlen">Primzahlen</a> selbst ist diese Darstellung denkbar einfach:<br />
<br />
7 = 7<br />
...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.<br />
<br />
Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.<br />
<br />
Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist<br />
<br />
256 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2<span style="vertical-align: super;">8</span><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 -->Verallgemeinerung</h2>
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.<br />
<br />
9/8 = 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span><br />
<br />
Auch Primfaktorzerlegung von rationalen Zahlen ist - bei geordneten Faktoren - eindeutig:<br />
<br />
Aus 3<span style="vertical-align: super;">2</span>*2<span style="vertical-align: super;">-3</span> wird nach dem Sortieren die Darstellung 2<span style="vertical-align: super;">-3</span>*3<span style="vertical-align: super;">2</span><br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 -->Notations- und Rechenhilfe</h2>
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br />
<br />
Die <strong><a class="wiki_link" href="/Monzo">Monzo</a>-Schreibweise</strong> verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):<br />
<br />
Quinte = 3/2 = |-1 1&gt;<br />
Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;<br />
Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;<br />
Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&gt;<br />
Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;<br />
Prime = 1 = |&gt;<br />
<br />
<br />
<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Verweise</h2>
 <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html>

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 <h2>IMPORTED REVISION FROM WIKISPACES</h2>
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-: This revision was by author [[User:xenwolf|xenwolf]] and made on <tt>2013-06-05 02:55:59 UTC</tt>.<br>
+: This revision was by author [[User:hstraub|hstraub]] and made on <tt>2013-06-05 06:05:08 UTC</tt>.<br>
-: The original revision id was <tt>436425364</tt>.<br>
+: The original revision id was <tt>436444864</tt>.<br>
-: The revision comment was: <tt>Ein Anfang - Endlich hab ichs mal geschafft :)</tt><br>
+: The revision comment was: <tt></tt><br>
 The revision contents are below, presented both in the original Wikispaces Wikitext format, and in HTML exactly as Wikispaces rendered it.<br>
 <h4>Original Wikitext content:</h4>
 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">Die **Primfaktorzerlegung** einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.
-== Grundlage ==
+==Grundlage==
 Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.
 Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.
 Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;8&lt;/span&gt;
-== Verallgemeinerung ==
+==Verallgemeinerung==
 Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 Aus 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;2&lt;/span&gt;*2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;-3&lt;/span&gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;-3&lt;/span&gt;*3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;2&lt;/span&gt;
-== Notations- und Rechenhilfe ==
+==Notations- und Rechenhilfe==
 Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&gt;
 Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&gt;
-Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4&gt;
+Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&gt;
 Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&gt;
 Prime = 1 = |&gt;
-== Verweise ==
+==Verweise==
 * [[http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung|Primfaktorzerlegung – Wikipedia]]
 * [[http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512|Prime Factorization of 24512]] - www.isprimenumber.com
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 <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">&lt;html&gt;&lt;head&gt;&lt;title&gt;Primfaktorzerlegung&lt;/title&gt;&lt;/head&gt;&lt;body&gt;Die &lt;strong&gt;Primfaktorzerlegung&lt;/strong&gt; einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc0"&gt;&lt;a name="x-Grundlage"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&gt; Grundlage &lt;/h2&gt;
+&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc0"&gt;&lt;a name="x-Grundlage"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 --&gt;Grundlage&lt;/h2&gt;
-Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&lt;br /&gt;
+ Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 = 2*2*3*3&lt;br /&gt;
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 ...ob eine Zahl jedoch prim ist, ist keineswegs einfach zu ermitteln.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach. &lt;br /&gt;
+Zur besseren Übersicht sortiert man die Primfaktoren der Größe nach.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Zusätzlich kann man gleiche Faktoren als Potenzen schreiben, was besonds bei großen Anzahlen gleicher Faktoren hilfreich ist&lt;br /&gt;
@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 = 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc1"&gt;&lt;a name="x-Verallgemeinerung"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&gt; Verallgemeinerung &lt;/h2&gt;
+&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc1"&gt;&lt;a name="x-Verallgemeinerung"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 --&gt;Verallgemeinerung&lt;/h2&gt;
-Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&lt;br /&gt;
+ Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei hier Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise haben Primfaktoren im Nenner negative Exponenten.&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 /8 = 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;2&lt;/span&gt;*2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;-3&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 Aus 3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;2&lt;/span&gt;*2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;-3&lt;/span&gt; wird nach dem Sortieren die Darstellung 2&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;-3&lt;/span&gt;*3&lt;span style="vertical-align: super;"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc2"&gt;&lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&gt; Notations- und Rechenhilfe &lt;/h2&gt;
+&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:4:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc2"&gt;&lt;a name="x-Notations- und Rechenhilfe"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:4 --&gt;Notations- und Rechenhilfe&lt;/h2&gt;
-Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&lt;br /&gt;
+ Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 Die &lt;strong&gt;&lt;a class="wiki_link" href="/Monzo"&gt;Monzo&lt;/a&gt;-Schreibweise&lt;/strong&gt; verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen):&lt;br /&gt;
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 Große Terz = 5/4 = |-2 0 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
 Große Sexte = 5/3 = |0 -1 1&amp;gt;&lt;br /&gt;
-Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 -1 4&amp;gt;&lt;br /&gt;
+Syntonisches Komma = 81/80 = |-4 4 -1&amp;gt;&lt;br /&gt;
 Pythagoreisches Komma = 531441/524288 = |-19 12&amp;gt;&lt;br /&gt;
 Prime = 1 = |&amp;gt;&lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
 &lt;br /&gt;
-&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc3"&gt;&lt;a name="x-Verweise"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&gt; Verweise &lt;/h2&gt;
+&lt;!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&amp;lt;h2&amp;gt; --&gt;&lt;h2 id="toc3"&gt;&lt;a name="x-Verweise"&gt;&lt;/a&gt;&lt;!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 --&gt;Verweise&lt;/h2&gt;
-&lt;ul&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&lt;/a&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&gt;Prime Factorization of 24512&lt;/a&gt; - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&gt;Primfaktorisierung&lt;/a&gt; - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>
+ &lt;ul&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow"&gt;Primfaktorzerlegung – Wikipedia&lt;/a&gt;&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow"&gt;Prime Factorization of 24512&lt;/a&gt; - www.isprimenumber.com&lt;/li&gt;&lt;li&gt;&lt;a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow"&gt;Primfaktorisierung&lt;/a&gt; - primzahlen.zeta24.com&lt;/li&gt;&lt;/ul&gt;&lt;/body&gt;&lt;/html&gt;</pre></div>

Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen

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