Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen
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==Grundlage== | ==Grundlage== | ||
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen. | Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. [[http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt|Leeres Produkt]] aufgefasst). | ||
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[[math]] | [[math]] | ||
==Verallgemeinerung== | ==Verallgemeinerung== | ||
Auch Brüche (rationale Zahlen) lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei | Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen. | ||
Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten | |||
[[math]] | [[math]] | ||
9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3} | 9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3} | ||
[[math]] | [[math]] | ||
Auch Primfaktorzerlegung von | Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist: | ||
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3^2 \cdot 2^{-3} | 3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2 | ||
2^{-3} \cdot 3^2 | |||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:5:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:5 -->Grundlage</h2> | ||
Alle natürlichen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen.<br /> | Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextMathRule:0: | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:0: | ||
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--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br /> | --><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:7:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:7 -->Verallgemeinerung</h2> | ||
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br /> | |||
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Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br /> | |||
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[[math]]&lt;br/&gt; | [[math]]&lt;br/&gt; | ||
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--><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br /> | --><script type="math/tex">9/8 = 3^2 \cdot 2^{-3}</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:3 --><br /> | ||
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Auch Primfaktorzerlegung von | Auch die Primfaktorzerlegung von Brüchen ist eindeutig, wenn die Ordnung der Faktoren festgelegt ist. Üblicherweise beginnt man mit dem kleinsten Primfaktor, der im obigen Beispiel die 2 ist:<br /> | ||
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:4: | <!-- ws:start:WikiTextMathRule:4: | ||
[[math]]&lt;br/&gt; | [[math]]&lt;br/&gt; | ||
3^2 \cdot 2^{-3}&lt;br/&gt;[[math]] | 3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2&lt;br/&gt;[[math]] | ||
--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} | --><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:9:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:9 -->Notations- und Rechenhilfe</h2> | ||
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:11:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc3"><a name="x-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:11 -->Verweise</h2> | ||
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | ||