Primfaktorzerlegung: Unterschied zwischen den Versionen
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[[math]] | [[math]] | ||
==Verallgemeinerung== | ==Verallgemeinerung== | ||
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen. | Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen. | ||
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Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen): | Die **[[Monzo]]-Schreibweise** verzichtet auf die Nennung der Primzahlen und beschränkt sich auf die Aufzählung der Exponenten dieser, wobei die Reihenfolge 2, 3, 5, 7... strikt eingehalten wird. Beim Umgang mit musikalischen Intervallen, in denen üblicherweise Primzahlen handlicher Größe auftreten, kommt man mit wenigen Zeichen aus (und die Anzahl der Nullen hält sich in Grenzen): | ||
||~ Name des Intervalls | ||~ Name des Intervalls ||~ Bruch ||~ Monzo || | ||
|| Reine Quinte | || Reine Quinte || 3/2 || |-1 1> || | ||
|| Große Terz | || Große Terz || 5/4 || |-2 0 1> || | ||
|| Große Sexte | || Große Sexte || 5/3 || |0 -1 1> || | ||
|| Syntonisches Komma | || Syntonisches Komma || 81/80 || |-4 4 -1> || | ||
|| Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12> | || Pythagoreisches Komma || 531441/524288 || |-19 12> || | ||
|| Prime | || Prime || 1 || |0> oder |> || | ||
=Umrechnung von Intervallvektoren in Cents= | |||
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in [[Cent]]s auf eine besondere, elegante Weise. | |||
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel: | |||
[[math]] | |||
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = <log2(2), log2(5) | | -3, 2> | |||
[[math]] | |||
Dies ist [[http://mathworld.wolfram.com/Ket.html|Bra-Ket]]-Schreibweise. (Der Vektor <log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst "Bra"). | |||
==Verweise== | ==Verweise== | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Primfaktorzerlegung</title></head><body>Die <strong>Primfaktorzerlegung</strong> einer Zahl ist ihre Darstellung als Produkt von Primzahlen, wobei die Eins als Faktor weggelassen wird.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:6:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc0"><a name="x-Grundlage"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:6 -->Grundlage</h2> | ||
Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br /> | Alle natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) lassen sich auf eindeutige Weise in ihre Primfaktoren zerlegen (die Eins wird dabei als sog. <a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt" rel="nofollow">Leeres Produkt</a> aufgefasst).<br /> | ||
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--><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br /> | --><script type="math/tex">256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:2 --><br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:8:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc1"><a name="x-Verallgemeinerung"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:8 -->Verallgemeinerung</h2> | ||
Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br /> | Bis auf das Vorzeichen ist das Verfahren auf die ganzen Zahlen ungleich 0 ausdehnen.<br /> | ||
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Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br /> | Auch Brüche (rationale Zahlen) ungleich 0 lassen sich in Primfaktoren zerlegen, wobei nun Primzahlen nicht nur über dem Bruchstrich (im Zähler), sondern auch daunter (im Nenner) auftreten. In der Potenzschreibweise erscheinen die Primfaktoren aus dem Nenner als negative Exponenten<br /> | ||
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--><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br /> | --><script type="math/tex">3^2 \cdot 2^{-3} = 2^{-3} \cdot 3^2</script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:4 --><br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:10:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc2"><a name="x-Notations- und Rechenhilfe"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:10 -->Notations- und Rechenhilfe</h2> | ||
Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | Zahlen lassen sich multiplizieren oder dividieren, indem man die Exponenten korrespondierender Primfaktoren addiert bzw. subtrahiert (genau das ist der Trick beim Kürzen).<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:12:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc3"><a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:12 -->Umrechnung von Intervallvektoren in Cents</h1> | ||
Für Intervalle in Monzo-Schreibweise erscheint die Umrechnung in <a class="wiki_link" href="/Cent">Cent</a>s auf eine besondere, elegante Weise.<br /> | |||
<br /> | |||
Die Formel, ein Intervall mit Frequenzverhältnis q in Cents umzurechnen, ist ja bekanntlich 1200 * log<span style="vertical-align: sub;">2</span>(q). Für eine Zahl in Primfaktorzerlegung ergibt das beim obigen Beispiel:<br /> | |||
<!-- ws:start:WikiTextMathRule:5: | |||
[[math]]&lt;br/&gt; | |||
log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = &lt;log2(2), log2(5) | | -3, 2&gt;&lt;br/&gt;[[math]] | |||
--><script type="math/tex">log2(2^{-3} \cdot 3^2) = -3 \cdot log2(2) + 2 \cdot log2(3) = <log2(2), log2(5) | | -3, 2></script><!-- ws:end:WikiTextMathRule:5 --><br /> | |||
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Dies ist <a class="wiki_link_ext" href="http://mathworld.wolfram.com/Ket.html" rel="nofollow">Bra-Ket</a>-Schreibweise. (Der Vektor &lt;log2(2), log2(3), log2(5),...| heisst &quot;Bra&quot;).<br /> | |||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:14:&lt;h2&gt; --><h2 id="toc4"><a name="Umrechnung von Intervallvektoren in Cents-Verweise"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:14 -->Verweise</h2> | |||
<ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | <ul><li><a class="wiki_link_ext" href="http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung" rel="nofollow">Primfaktorzerlegung – Wikipedia</a></li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://www.isprimenumber.com/factorization-of/24512" rel="nofollow">Prime Factorization of 24512</a> - www.isprimenumber.com</li><li><a class="wiki_link_ext" href="http://primzahlen.zeta24.com/de/online_primfaktorisierung.php" rel="nofollow">Primfaktorisierung</a> - primzahlen.zeta24.com</li></ul></body></html></pre></div> | ||