Pajara: Unterschied zwischen den Versionen
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">English: [[xenharmonic/pajara]] | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html">English: [[xenharmonic/pajara]] | ||
Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave. | Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave. | ||
Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]. | Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]. | ||
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen. | Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen. | ||
Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen. | Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen. | ||
Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. | Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Pajara</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/pajara">xenharmonic/pajara</a><br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Pajara</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/pajara">xenharmonic/pajara</a><br /> | ||
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Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, deren Periodenintervall <em>nicht</em> die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.<br /> | Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden <a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a> definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall <em>nicht</em> die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.<br /> | ||
Austemperiert werden die folgenden Kommas: <a class="wiki_link" href="/50_49">50/49 (Jubilisma)</a>, <a class="wiki_link" href="/64_63">64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)</a> und <a class="wiki_link" href="/2048_2025">2048/2025 (Diaschisma)</a>.<br /> | Austemperiert werden die folgenden Kommas: <a class="wiki_link" href="/50_49">50/49 (Jubilisma)</a>, <a class="wiki_link" href="/64_63">64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)</a> und <a class="wiki_link" href="/2048_2025">2048/2025 (Diaschisma)</a>.<br /> | ||
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Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer <a class="wiki_link" href="/Naturseptime">harmonischen Septime (7/4)</a>, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &quot;grossen Halbton&quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.<br /> | Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer <a class="wiki_link" href="/Naturseptime">harmonischen Septime (7/4)</a>, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen &quot;grossen Halbton&quot;. Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.<br /> | ||
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Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.<br /> | Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.<br /> | ||
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Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.<br /> | Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.<br /> | ||
Version vom 6. Juni 2013, 09:57 Uhr
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Original Wikitext content:
English: [[xenharmonic/pajara]] Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden [[Intervallraum]] definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall //nicht// die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave. Austemperiert werden die folgenden Kommas: [[50_49|50/49 (Jubilisma)]], [[64_63|64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)]] und [[2048_2025|2048/2025 (Diaschisma)]]. Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" ([[xenharmonie/7_5|7/5]]) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" ([[xenharmonie/10_7|10/7]]), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave. Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer [[Naturseptime|harmonischen Septime (7/4)]], ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen. Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen. Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in [[mitteltönig|mitteltönigen]] Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie. Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind [[22edo]], [[32edo]], [[34edo]], in Grenzen [[10edo]]. Die pentatonische [[MOS-Skalen|MOS-Skala]] (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von [[Paul Erlich]] und [[Gene Ward Smith]]. Weiterführender Artikel: Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. [[http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf]] (in englischer Sprache)
Original HTML content:
<html><head><title>Pajara</title></head><body>English: <a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/pajara">xenharmonic/pajara</a><br /> <br /> Pajara ist ein Beispiel für eine Temperatur, die auf dem vierdimensionalen, die Primzahl 7 einschliessenden <a class="wiki_link" href="/Intervallraum">Intervallraum</a> definiert ist, ferner für eine, deren Periodenintervall <em>nicht</em> die Oktave ist. In diesem Beispiel ist es stattdessen die Halboktave.<br /> Austemperiert werden die folgenden Kommas: <a class="wiki_link" href="/50_49">50/49 (Jubilisma)</a>, <a class="wiki_link" href="/64_63">64/63 (Archytas- oder Leipziger Komma)</a> und <a class="wiki_link" href="/2048_2025">2048/2025 (Diaschisma)</a>.<br /> <br /> Das Jubilisma ist die Differenz zwischen dem "kleinen Tritonus" (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/7_5">7/5</a>) und dessen Oktav-Komplement, dem "grossen Tritonus" (<a class="wiki_link" href="http://xenharmonie.wikispaces.com/10_7">10/7</a>), und dessen Austemperieren bedeutet, dass es nur einen Tritonus gibt, der sein eigenes Komplement ist und die Oktave in zwei gleiche Teile teilt. Dieser Tritonus bildet hier wie gesagt das Periodenintervall anstelle der Oktave.<br /> <br /> Das Archytas- bzw. Leipziger Komma ist der Unterschied zwischen zwei reinen Quarten (4/3) und einer <a class="wiki_link" href="/Naturseptime">harmonischen Septime (7/4)</a>, ferner der Unterschied zwischen einer pythagoräischen grossen Terz (81/64) und dem Intervall 9/7. Die Quarten sind etwas kleiner als die reinen, die Quinten umgekehrt etwas grösser - Übereinanderschichten von 4 Quinten führt oktavbereinigt zu einer extrem grossen Terz in der Nähe von 9/7. Die Differenz zwischen der Quinte und dem Tritonus (und zwischen dem Tritonus und der Quarte) ergibt einen "grossen Halbton". Dieses Intervall wird als Generator von Pajara genommen.<br /> <br /> Aus der Definition des Generatorintervalls sowie dem Austemperieren des Diaschismas schliesslich lässt sich herleiten, dass zwei Generatorschritte vom Tritonus aus (und ein Generatorenschritt von der Quarte aus) abwärts zu einem Intervall vom Charakter der reinen grossen Terz (5/4) führen.<br /> <br /> Pajara ist eine interessante Temperatur im Hinblick auf Intervalle, deren Frequenzverhältnis die Primzahl 7 enthält (prominentestes Beispiel ist die Naturseptime 7/4). Insbesondere bieten Pajara-Systeme in der Regel gute Approximationen für den Vierklang, der aus den Obertönen 4 bis 7 besteht (ein Akkord, der einem Dominantseptakkord ähnelt). Wenn der Dur-Dreiklang (Obertöne 4 bis 6) als natürlicher Grundbaustein in <a class="wiki_link" href="/mittelt%C3%B6nig">mitteltönigen</a> Systemen gesehen werden kann, so erscheint der Dur-Vierklang aus den Obertönen 4 bis 7 als natürlicher Grundbaustein für Pajara-Harmonie.<br /> <br /> Wichtige gleichstufige Stimmungen, die Pajara unterstützen, sind <a class="wiki_link" href="/22edo">22edo</a>, <a class="wiki_link" href="/32edo">32edo</a>, <a class="wiki_link" href="/34edo">34edo</a>, in Grenzen <a class="wiki_link" href="/10edo">10edo</a>.<br /> <br /> Die pentatonische <a class="wiki_link" href="/MOS-Skalen">MOS-Skala</a> (bis zum Tritonus gehend) hat die Form 1L 4s. s Ist dabei der Generator, also ein "grosser Halbton", und L ein "kleiner Ganzton". Auf eine Oktave verdoppelt, erhält man eine MOS-Skala vom Typ 2L 8s. Diese symmetrische dekatonische Skala sowie eine nahe verwandte vom Typ LsssLsssss enthalten auf natürliche Weise eine Menge der oben genannten Basis-Vierklänge aus den Obertönen 4 bis 7. Beide wurden erfunden bzw. entdeckt von <a class="wiki_link" href="/Paul%20Erlich">Paul Erlich</a> und <a class="wiki_link" href="/Gene%20Ward%20Smith">Gene Ward Smith</a>.<br /> <br /> Weiterführender Artikel:<br /> Paul Erlich, "Tuning, Tonality and 22-Tone Temperament." Xenharmonicon 17, 1998. <a class="wiki_link_ext" href="http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf" rel="nofollow">http://sethares.engr.wisc.edu/paperspdf/Erlich-22.pdf</a> (in englischer Sprache)</body></html>