Gebrochenzahlige Intervallvektoren: Unterschied zwischen den Versionen
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Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht. | Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen "echten" Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung [[Reine Stimmungen|reiner Stimmungen]], [[Gleichstufige Tonsysteme|gleichstufiger Tonsysteme]] wie auch [[Reguläre Temperaturen|regulärer Temperaturen]] in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht. | ||
=Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle= | |||
Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt. | Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine "reinen" Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt. | ||
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=Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum= | =Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum= | ||
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<div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Nichtganzzahlige Intervallvektoren</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos">English</a><br /> | <div style="width:100%; max-height:400pt; overflow:auto; background-color:#f8f9fa; border: 1px solid #eaecf0; padding:0em"><pre style="margin:0px;border:none;background:none;word-wrap:break-word;width:200%;white-space: pre-wrap ! important" class="old-revision-html"><html><head><title>Nichtganzzahlige Intervallvektoren</title></head><body><span style="display: block; text-align: right;"><a class="wiki_link" href="http://xenharmonic.wikispaces.com/Fractional%20monzos">English</a><br /> | ||
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Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &quot;echten&quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen">reiner Stimmungen</a>, <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufiger Tonsysteme</a> wie auch <a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen">regulärer Temperaturen</a> in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.<br /> | Mit dem so erweiterten Intervallraum (bei dem es sich nun um einen &quot;echten&quot; Vektorraum auch im streng mathematischen Sinn handelt) haben wir somit ein Instrument zur Verfügung, das die Beschreibung <a class="wiki_link" href="/Reine%20Stimmungen">reiner Stimmungen</a>, <a class="wiki_link" href="/Gleichstufige%20Tonsysteme">gleichstufiger Tonsysteme</a> wie auch <a class="wiki_link" href="/Regul%C3%A4re%20Temperaturen">regulärer Temperaturen</a> in einer gemeinsamen Sprache ermöglicht.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:0:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc0"><a name="Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:0 -->Nichtganzzahlige Intervallvektoren und reine Intervalle</h1> | |||
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Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine &quot;reinen&quot; Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.<br /> | Die von nichtganzzahligen Intervallvektoren beschriebenen Frequenzverhältnisse sind irrationale Zahlen, die entsprechenden Intervalle sind also keine &quot;reinen&quot; Intervalle. Doch bei rationalen Koeffizienten gibt es eine einfache Beziehung zu reinern Intervallen: jedes durch einen nichtganzzahligen Intervallvektor beschriebene Intervall ist der n-te Teil eines reinen Intervalles (bzw., mathematisch: die n-te Potenz), wobei n das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) der Nenner der Koeffizienten des Intervallvektors ist. Das reine Intervall ist durch das KGV sogar eindeutig bestimmt.<br /> | ||
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<!-- ws:start:WikiTextHeadingRule: | <!-- ws:start:WikiTextHeadingRule:2:&lt;h1&gt; --><h1 id="toc1"><a name="Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum"></a><!-- ws:end:WikiTextHeadingRule:2 -->Temperierte Stimmungen als Transformationen im Intervallraum</h1> | ||
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